押第19题 立体几何-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（全国卷2）

押第19题 立体几何 对于立体几何的解答题，在高考中常借助柱、锥体考查线面、平行与垂直，考查利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上． 预计2021年高考新课标全国卷第19题会考查立体几何问题，以平行关系、空间角为主线进行考查．立体几何是高考考查的重要内容之一，一般分为两个问题，第一问考查空间线面位置关系的证明，第二问考查向量法求空间角的问题． 1.（2020年高考新课标Ⅱ卷理科）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 . （1）证明： ，且平面 平面 ； （2）设 为 的中心，若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 2.（2019年高考新课标Ⅱ卷理科）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 3.（2018年高考新课标Ⅱ卷理科）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值． 1．（2021·河北石家庄市·高三一模）2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. （Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体 ，几何体 的底面半径和高都为 ，其底面和半球体的底面同在平面 内.设与平面 平行且距离为 的平面 截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明； （Ⅱ）现将椭圆 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球 ， （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球 的体积公式，并写出椭球 ， 的体积之比. 2．（2021·北京通州区·高三一模）如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ，点E，F分别是 ， 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． 2．（2021·六盘山高级中学高三一模（理））如图，在直角梯形ABCD中，AB DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C不重合). （1）求证：平面EMN⊥平面PBC； （2）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由. 4．（2021·山东高三二模）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 、 、 、 四点共面. （1）证明：平面 平面 ； （2）若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的大小. 5．（2021·甘肃高三二模）如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为 的菱形，且 ， 、 分别为 、 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求点 到 的距离． 6．（2021·全国高三其他模拟）如图，四棱锥 中， 面 ， 是直角梯形， ， ， ， ．设平面 与平面 的交线为 ． （Ⅰ）若 为 的中点，在直线 上找一点 使得 面 ，确定 的位置并证明你的结论； （Ⅱ） 为 上的点，求平面 与平面 所成二面角的正弦值的最小值． （限时：30分钟） 1．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形且 ， ，点 在底面上的射影为线段 上一点 ， ，且 ， 为 上的一点且 ，过 、 做平面交 于点 ， 于点 且 为 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值． 2.如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是平行四边形， ， ， 分别是棱 ， 的中点，且 . （1）证明：平面 平面 . （2）求