押新高考第13题 二项式定理-备战2021年高考数学临考题号押题（新高考专用）

押第13题 二项式定理 二项式定理是高考全国卷的一个高频考点,大多为基础题,且以小题的形式进行考查,考查热点是求二项展开式指定项的系数，或求形如 的展开式中指定项的系数. 1．二项式定理的展开式 ,其中组合数 叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当二项式的两个项的系数都为1时,系数就是二项式系数.如在 的展开式中,第ｒ＋１项的二项式系数为 ,第ｒ＋１项的系数为 ；而 的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？（4）特例： HYPERLINK "http://www.xjktyg.com/wxc/" 2.二项式定理的通项 二项展开式中第r+l项 EMBED Equation.DSMT4 称为二项展开式的通项,二项展开式通项的主要用途是求指定的项.主要用于求常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 注意： 通项公式是表示第 项,而不是第 项. 展开式中第 项的二项式系数 与第 项的系数不同. 通项公式中含有 五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常遇到已知这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式,把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意 是正整数, 是非负整数且 ≤ . 3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ ）． (2)增减性与最大值： 当 时,二项式系数C 的值逐渐增大,当 时,C 的值逐渐减小,且在中间取得最大值.当n为偶数时,中间一项（第 ＋1项）的二项式系数 取得最大值.当n为奇数时,中间两项（第 和 ＋1项）的二项式系数 相等并同时取最大值. (3)各二项式系数和：∵ ,令 ,则 , EMBED Equation.3 EMBED Equation.DSMT4 (4)用二项式定理进行近似运算,关键是恰当地舍取不影响精度的项,一般地：当 很小时,有 . 4.二项定理问题的处理方法和技巧 ⑴运用二项式定理一定要牢记通项 ,注意 与 虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题,另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念,前者只指 ,而后者是字母外的部分．前者只与 和 有关,恒为正,后者还与 , 有关,可正可负． ⑵ 对于二项式系数问题,应注意以下几点： ①求二项式所有项的系数和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时,应注意运用放缩法. ⑶ 求二项展开式中指定的项,通常是先根据已知条件求 ,再求 ,有时还需先求 ,再求 ,才能求出 . ⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决,但要注意分类清楚,不重不漏. ⑸ 对于二项式系数问题,首先要熟记二项式系数的性质,其次要掌握赋值法,赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段. ⑹ 近似计算要首先观察精确度,然后选取展开式中若干项. ⑺ 用二项式定理证明整除问题,一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开,常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决. 多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 .在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别. 5. 求展开式系数最大项 如求 ( )的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为 ,且第 项系数最大,应用 从而解出k来,即得． 6.二项式应用问题 (1)利用二项式定理解决整除问题时,关键是进行合理地变形构造二项式,应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可． (2)求余数问题时,应明确被除式 与除式 ( ),商式 与余式的关系及余式的范围． (3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时,先要合并通项中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析． (4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围． 7.二项式定理是一个恒等式,使用时有两种思路： 一是利用恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等)；二是赋值．二项式定理