专题10 数形结合思想-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题10 数形结合思想 【方法指导】 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： （1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 （1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用． 5．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： （1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证 【例题解读】 【典例1】在直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：①M，N都在函数 的图像上；②M，N关于原点时称．则称点对为函数 的一对“友好点对”（注：点对 与 为同一“友好点对”）已知函数 ，此函数“友好点对”有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00112】 【答案】C 【分析】 根据题意，“友好点对”可知，要求解 的“友好点对”，只需作出函数 的图象关于原点对称的函数为 ，结合图象的交点个数，即可求解. 【详解】 由函数 ， 当 时，可得 ，则 ， 则函数 的图象关于原点对称的函数为 ， 由题意知，作出函数 的图象及函数 的图象， 如图所示， 由图象可得两个函数图象共有两个交点，即函数 的“友好点对”有：2个. 故选：C. 【点睛】 方法点拨：把函数 的“友好点对”，转化为作出函数 的图象关于原点对称的函数为 与函数 的图象的交点个数，结合图象的交点个数是解答的关键. 【典例2】已知函数 的定义域为R，若关于x的方程 有5个不同的根 ，则 的值为（ ） A． B．16 C．5 D．15 【来源】【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】 【答案】D 【分析】 根据函数解析式画出图像，结合方程根的情况，判断函数交点情况，从而求得参数的值，进而求得交点横坐标，从而解决问题. 【详解】 由函数 解析式作出函数图像如下： 由方程 有5个不同的根知， 必有一个解为1， 即 ， 则 ， 则方程另一个解为 ，设 则 ， 故 故选：D. 【点睛】 方法点睛：数形结合找到方程有5个不同根对应的交点情况，然后求得参数值. 【典例3】已知 为抛物线 上一点，过抛物线 的焦点 作直线 的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四） 【答案】D 【分析】 过