专题09 函数与方程思想-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题09 函数与方程思想 【方法指导】 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论. 【例题解读】 【典例1】（2021·黑龙江高三三模（理））已知复数 的模为，复数 .则在复平面内，复数 所对应的点与点 的距离的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设 ，由复数三角形式的运算可得 ，由此确定 对应的点，利用两点间距离公式表示出所求距离，结合三角恒等变换公式将所求距离最值化为关于 的二次函数最值的求解问题，由此求得结果. 【详解】 ， 可设 ， ， 对应的点坐标为 ， 对应的点与 的距离 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查两点间距离最值的求解问题，解题关键是能够将两点间距离表示为关于 的二次函数的形式，利用二次函数的最值求得结果. 【典例2】（2021·河南新乡市·高三三模（理））已知函数 .当 时.关于 的方程 恰有两个不同的实根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题意得方程 恰有两个不同的实根等价于直线 与函数 的图象有两个不同的交点，画出 的大致图象可分析得答案； 【详解】 解：当 时， ，所以 不是方程 的实根 当 时，由 ，得 ． 方程 恰有两个不同的实根等价于直线 与函数 的图象有两个不同的交点． 因为 ，所以 ， 则函数 的大致图象如图所示 因为 ，所以 故选：C 【点睛】 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【典例3】（2021·湖北高三二模）在 中， ， ， ，点 为 的外心，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出 ，再求出 ，得到 ,（1），同理得到 ，（2），解之即得解. 【详解】 由题得 , 由余弦定理得 ， 所以 ， 因为点 为 的外心， 所以 , 所以 ,（1） 同理 ,（2） 解（1）（2）得 . 故选：C 【点睛】 关键点睛：解答本题的关键是找到关于 的方程，其中一个是根据平面向量的数量积定义得到方程，另外一个是平面向量的线性运算和数量积的运算得到方程. 【典例4】（2021·江西高三其他模拟（理））已知等比数列 中， ， 且 ，则 （ ） A． B．16 C． D．4 【答案】B 【分析】 结合 ， 且 ,求出 , ,从而得出数列的通项公式,即可求出 . 【详解】 解:已知 ，且 解得 , 又因为 是等比数列, 所以 , 所以 ,可得 , 所以 . 故选:B 【点睛】 本体考查等比数列的通项公式,求等比数列的简单基本性质,求出首项和公比是解题的关键. 【专题训练】 一、单选题 1．（2021·重庆高三二模）已知公差不为0的等差数列 中， ， ，则 （ ） A． B．5 C．10 D．40 【答案】A 【分析】 直接用公差 和首项 表示已知条件，然后求得公差 和首项 后可得 ． 【详解】 设数列公差为 ，则由已知得 ，由于 ，故解得 ， 所以 ． 故选：A． 2．（2021·北京朝阳区·高三一模）如果复数 的实部与虚部相等，那么 （ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】 把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得 ． 【详解】 ，所以实部为 ，虚部为 ，所以 ． 故选：A． 3．（2021·江西高三其他模拟（理））已知向量 ， 且