精选20 空间几何体（选择与填空）-2021年高考数学108所名校押题精选（新高考地区专用）

精选20 空间几何体（选择与填空） 1．与球有关的组合体问题常见内切和外接两种．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于长方体，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线长等于球的直径． 2．在解决几何体的外接球的问题，关键在于求得球心和球半径，在求解时，常运用补全几何体和依据球的截面的性质：利用球的半径､截面圆的半径及球心到截面的距离三者的关系求解． 3．求外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； （2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径； （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可． 一、单选题 1．已知正四棱锥的底面正方形的中心为，若高，，则该四棱锥的表面积是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，正四棱锥的高底面，且，知为等腰直角三角形，则侧棱，且， 则底面正方形的对角线，得正方形的边长， 从而知正四棱锥的个侧面均是边长为的正三角形； 所以底面积为 ；侧面积为 故正四棱锥的表面积为．故选D 2．若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥的高为，母线为，则侧面积为，底面积为 由侧面积是底面积的3倍，得，，解得，， 故该圆锥的体积为．故选D 3．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为 A．π B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h；由圆锥的母线长为4， 所以圆锥的侧面积为πr•4＝4πr；又圆锥的轴截面面积为•2r•h＝rh， 所以4πr＝4rh，解得h＝π；所以该圆锥的高为π．故选A． 4．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底面边长为，高为，球的体积为，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，则，解得． 如图， 正四棱柱底面对角线，在中，由， ，，则侧面积， 即侧面积的最大值为．故选B． 5．已知球是正四面体的外接球，为线段的中点，过点的平面与球形成的截面面积的最小值为，则正四面体的体积为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示：易知平面时，截面面积最小． 设外接球的半径为，截面面积最小时截面圆的半径为，，外接圆的圆心为，则，， 所以．由，解得， 则，解得． 又正四面体的高为，所以正四面体的体积 ，故选D． 6．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和高均为，现有体积为的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设锥形沙堆的高度，则，解得，故选B. 7．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，、、的面积分别为1、、3，则三棱锥的外接球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】三棱锥中，侧棱、、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径， 设长方体的三度为，，由题意得，，， 解得，，，所以球的直径为， 它的半径为，球的表面积为；故选A． 【名师点睛】本题三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在． 8．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式．用该术可求得圆周率的近似值．现用该术求得的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为 A． B．3 C． D．9 【答案】D 【解析】先求圆周率的近似值： 已知圆锥的底面周长L与高h，其体积V的近似公式． 设底面圆的半径为，则，可得， 所以，整理得． 再来计算所求圆锥体积的近似值： 该圆锥的底面直径和母线长相等，其表面积的近似值为27， 设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为， ，解得． 又，所以， 所以所求圆锥体积．故该圆锥体积的近似值为9．故选D． 9．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱始终与水面EFGH平行； ④当时，是定值．其中正确说法的是 A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解析】