专题2.3透过二模看中考（相似三角形）-2021年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）

专题2.3 相似三角形 模拟预测 全国各地最新二模 1．（2020·山东九年级二模）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于E，F两点，且∠MAN=45°，则下列结论：①MN=BM+DN；②△AEF∽△BEM；③=；④△FMC是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号） 【答案】①②③④ 【分析】将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明MN=BM+DN；根据BD是正方形ABCD的对角线，推出∠EBM=∠MAN=45°，于是得到△AEF∽△BEM；根据相似三角形的判定定理得到△AEB∽△FEM，根据相似三角形的性质得到∠EMF=∠ABE=45°，推出△AFM是等腰直角三角形，于是得到；根据全等三角形的性质得到AF=CF，等量代换得到△FMC是等腰三角形． 【详解】将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADM′， ∴∠M′AD=∠MAB，AM′=AM，BM=DM′， ∵∠MAN=45°， ∴∠DAN+∠MAB=45°， ∴∠M′AN=∠DAN+∠M′AD=∠DAN+∠MAB=45°， 在△AMN和△AM′N中， ， ∴△AMN≌△AM′N（SAS）， ∴MN=NM′， ∴M′N=M′D+DN=BM+DN， ∴MN=BM+DN；故①正确； ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠EBM=45°， ∵∠MAN=45°， ∴∠EBM=∠MAN=45°， ∵∠AEF =∠BEM， ∴△AEF∽△BEM，故②正确； ∴，即， ∵∠AEB=∠MEF， ∴△AEB∽△FEM， ∴∠EMF=∠ABE=45°， ∵∠MAN=45°， ∴△AFM是等腰直角三角形， ∴，故③正确； 在△ADF与△CDF中， ， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴AF=CF， ∵AF=MF， ∴FM=FC， ∴△FMC是等腰三角形，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（2020·洛阳市第二外国语学校九年级二模）已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值； （2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示） 【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα 【分析】（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论． （2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论． （3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，易得∠ACE＝∠BCF，＝，证明△ACE∽△BCF，得出sinα＝的最小值 ，则得出的最小值＝sinα． 【详解】（1）连接BF， ∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴EC＝EF，∠CEF＝60°， ∴△EFC都是等边三角形， ∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴＝1． （2）不成立，结论：＝． 证明：连接BF， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BAC＝∠CEF＝90°， ∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECF＝45°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴＝＝， ∴△ACE∽△BCF， ∴∠CBF＝∠CAE＝α， ∴＝＝． （3）结论：当点E为AD的中点时，的值最小，最小值为sinα． 连接BF，取AC的中点M，连接EM， ∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α， ∴∠ACB＝∠ECF， ∴△BAC∽△FEC， ＝， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE∽△BCF， ∵D为BC的中点，M为AC的中点， ∴＝＝＝， ∴＝， ∵当E为AD中点时， 又∵M为AC的中点， ∴EM∥CD, ∵CD⊥AD， ∴EM⊥AD, 此时，最小=sinα， ∴的最小值＝sinα． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，