专题2.1透过二模看中考（ 几何中的最值问题）-2021年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）

专题2.1 几何中的最值问题 模拟预测 全国各地最新二模 一、单选题 1．（2019·山东淄博市·九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为( ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值． 【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形， 所以BD＝DC 因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°， 所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC， 因为∠FDC＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上， 直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4， 所以AP＝2 当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值， CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 2．（2020·无锡市江南中学九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（ ） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 【答案】A 【分析】分别证明，，∠MPN=90°，易得为直角三角形，设，则，，由勾股定理得，从而可得出最小值为，进一步得出结论． 【详解】，为的中点， ， ，为的中点, ，, 连接，则为直角三角形， 设，则，， 当时，最小值为 ∴的最小值为 故选：A． 【点睛】此题主要考查了线段最小值的求解方法，列出求出最小值为是解决本题的关键． 二、填空题 3．（2020·湖北武汉市·九年级二模）如图，正方形的边长为8，为边的中点，以为边向形外作等边，连接，，分别为，边上的动点，当取最小值时，的面积为______． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，，垂足分为，，交于点，点，作关于的对称点分别为，，连接，，，证明取最小值，此时与点重合，与重合，求出的面积即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，，垂足分为，，交于点， 易证，，， 点，作关于的对称点分别为，，连接，，， 则， 当点，分别与点，重合时，取最小值， 此时与点重合，与重合， 易得，， ∴，， ∴， ∴的面积为， 故当取最小值时，的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会两条轴对称解决最短问题． 4．（2020·江苏盐城市·九年级二模）如图，是两个直角三角板，其中，，若将直角三角板绕点旋转一周，则的最大值为_______________________． 【答案】 【分析】如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ．利用全等三角形的性质证明BE=DJ，推出|AD-BE|=|AD-DJ|≤AJ，求出AJ即可解决问题． 【详解】解：如图，在CA取一点J，使得CJ=CB，连接DJ． 在Rt△ACB中，AB=2，∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴CB=CJ=AB=1，AC=BC=， ∵∠ECD=∠BCJ=90°， ∴∠DCJ=∠ECB， ∵CD=CE，CJ=CB， ∴△DCJ≌△ECB（SAS）， ∴DJ=BE， ∴|AD-BE|=|AD-DJ|， ∵|AD-DJ|≤AJ， ∴|AD-BE|≤， ∴|AD-BE|的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 5．（2020·泰兴市河头庄中学九年级二模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为 ______． 【答案】2 【分析】过M作ME⊥BC于E，设MN=EC=x，根据勾股定理表示出CM的长为，从而得到，根据二次函数的性质即可得到CM－MN的最大值． 【详解】解：过M作ME⊥BC于E，由题意可知四边形MECN为矩形，AB=BM， ∵AB=4， ∴BC=BM=4， 设MN=EC=x，则BE=4-x， 在Rt△BEM中， ， 在Rt△CEM中， ， 则 ， 设，