§5.5 空间向量及其应用-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§5.5　空间向量及其应用 一、【知识梳理】 知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量 ①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量． ③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量． ⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广． 设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律 ①加法交换律：a＋b＝b + a . ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb. ④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)． 知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用 (1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z， 使.其中x＋y＋z＝1. 知识点3．空间向量的数量积及其应用 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； (3)|a|2＝a2，|a|＝. 2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算 空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面． (2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向． (3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 2．空间两点间的距离公式 设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝. 二、【典例剖析】 考点一 ：空间向量的线性运算 【典例1】如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【典例2】如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则=( ) A. B. C. D. 【变式探究】 1．如图，在平行六面体中，为的交点．若 ， ，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点． （1）用向量表示，； （2）若，求实数x，y，z的值． 考点二 ： 共线向量定理、共面向量定理的应用 【典例3】若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（ ） A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线 【典例4】已知，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【变式探究】 1．已知，，，若三向量共面，则实数等于（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，，若，则________；若，，，四点共面，则__________． 考点三 ： 空间向量的数量积及其应用 【典例5】已知空间四边形，满足， ， ， ，则的值（ ） A. B. C. D. 【典例6】已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面