§5.2 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§5.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 一、【知识梳理】 知识点1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 知识点2．空间两直线的位置关系 直线与直线的位置关系的分类 直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 知识点3．异面直线所成的角 异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)． ②范围：. 异面直线的判定方法： 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 知识点4．直线与平面所成角 1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝. 知识点5．二面角 1．求二面角的大小 (1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 二、【典例剖析】 考点一 ：平面的基本性质 【典例1】如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（　　） A.不共面 B.三点共线 C.不共面 D.共面 【典例2】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【变式探究】 1.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 2.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线． 考点二： 空间线、面的位置关系 【典例3】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ） A.与，都相交 B.与，都不相交 C.至少与，中的一条相交 D.至多与，中的一条相交 【典例4】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 【变式探究】 1.给出三个命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面；②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面；③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是（ ） A．②③ B．①② C．①②③ D．② 2.若表示直线，表示平面，下列结论中正确的是_______.①；②；③；④. 考点三： 异面直线所成的角 【典例5】如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　) A. B. C. D. 考点四： 直线与平面所成角 【典例6】已知正方体的体积为，点在正方形上，且到的距离分别为，则直线 与平面 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 【典例7】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°． （Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值． 【变式探究】 1.已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________. 2.如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明