§3.5 离散型随机变量及其概率分布、均值与方差-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§3.5　离散型随机变量及其概率分布、均值与方差 一、【知识梳理】 知识点1. 离散型随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的分布列 (1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)离散型随机变量 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． 随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量. 2. 分布列的两个性质 ①，；②. 3．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 知识点2. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布： 若随机变量服从两点分布，即其分布列为 0 1 其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率． (2)超几何分布： 在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列. 0 1 … m … (3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表 … … … … 为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列． 知识点3. 离散型随机变量的均值与方差 1．均值 若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．． 若，其中为常数，则也是随机变量，且. 若服从两点分布，则； 2.方差 若离散型随机变量X的分布列为 … … … … 则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差． 若，其中为常数，则也是随机变量，且． 若服从两点分布，则． 3. 六条性质 (1) (为常数) (2) (为常数) (3) (4)如果相互独立，则 (5) (6) 二、【典例剖析】 考点一 ： 离散型随机变量分布列的性质 【典例1】离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（ ） 0 1 A． B． C．或 D．以上都不对 【典例2】设随机变量的概率分布列为则（ ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【典例3】袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，，标号为号的球个．现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则______． 【变式探究】 1.随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且， 2 4 6 则（ ） A． B． C． D． 2.设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（ ） A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)= 3.设随机变量的分布列,则 _______ 考点二 ：　超几何分布 【典例4】某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（ ） A． B． C． D． 【典例5】盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列. 【变式探究】 1.箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和. （1）若，求的值； （2）当时，求的分布列. 2.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 考点三：　离散型随机变量分布列的求法 【典例6】设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.2 0.1 0.1 0.3 求：（1）的分布列； （2）求的值. 【典例7】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心