§3.3 二项式定理-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§3.3　二项式定理 一、【知识梳理】 知识点1. 二项式定理 1. 二项式定理 ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为. (3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到. (4)二项式的系数从，，一直到，. 知识点2. 二项式系数的性质 1. 二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，. (2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的． 当是偶数时，中间的一项取得最大值． 当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即， 2.注意:（1）．分清是第项，而不是第项. (2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解. (3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数． 知识点3. 二项式定理的应用 二项式的应用 （1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式； （3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题； （4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值： ①；②； （5）证明不等式. 二、【典例剖析】 考点一 ： 二项式定理 【典例1】二项式的展开式的常数项是___________． 【典例2】展开式中的系数为（ ） A.15 B.20 C.30 D.35 【典例3】在的展开式中，的系数是_________． 【典例4】的展开式中的项的系数是________. 【变式探究】 1. 的展开式中的系数为（ ） A.10 B.20 C.40 D.80 2.（2017·全国高考真题（理））(+)(2-)5的展开式中33的系数为（ ） A.-80 B.-40 C.40 D.80 3.（2019·天津高考真题（理））是展开式中的常数项为________. 4.（2017·山东高考真题（理））已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________. 考点二 ： 二项式系数的性质及各项系数和 【典例5】二项式的展开式中，所有有理项（系数为有理数，的次数为整数的项）的系数之和为________；把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法共有____种．（用数字作答） 【典例6】的展开式的各个二项式系数的和为________，含的项的系数是________. 【典例7】若，则______. 【变式探究】 1.已知，，则自然数等于（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 2.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式二项式系数最大的项为 . 3.若，则_________，_________. 考点三 ： 二项式定理的应用 【典例8】设，且，若能被13整除，则（ ） A．0 B．1 C．11 D．12 【典例9】的计算结果精确到个位的近似值为（ ） A.106 B.107 C.108 D.109 【典例10】（多选题）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（ ） A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想： C．由“第行所有数之和为”猜想： D．由“，，”猜想 【典例11】（2019·浙江杭十四中高三月考）的展开式中，项的系数为14，则_____，展开式各项系数之和为______． 【变式探究】 1．（多选题）设，下列结论正确的是（ ） A． B． C．中最大的是 D．当时，除以2000的余数是1 2.已知，则_____，_____． 3.若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是 . 4.以下排列的数是二项式