§1.4 导数中的综合问题-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§1.4 导数中的综合问题 一、【知识梳理】 1．利用导数研究函数的图象与性质 函数图象的识别主要利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性以及函数值的符号等.解决此类问题应先观察选项的不同之处，然后根据不同之处研究函数的相关性质，进而得到正确的选项.如该题中函数解析式虽然比较复杂，但借助函数的定义域与函数的单调性很容易利用排除法得到正确选项. 2．与函数零点有关的参数范围问题 （1）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点． （2）求极值的步骤： ①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）； ②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点. （3）求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图象，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域. （4）函数的零点就是的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标. 3．与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理． ： 4．利用导数证明、解不等式问题 无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝. 二、【典例剖析】 考点一 ：利用导数研究函数的零点或零点个数 【典例1】已知函数,为的导函数. (1)求证:在上存在唯一零点; (2)求证:有且仅有两个不同的零点. 【典例2】已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【变式探究】 1.【多选题】关于函数，下列判断正确的是（ ） A．是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数，使得恒成立 D．对任意两个正实数，，且，若，则 2.已知，，其中，为自然对数的底数． 若函数的切线l经过点，求l的方程； Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论． 考点二：与函数零点有关的参数范围问题 【典例3】已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 【典例4】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有三个零点，求的取值范围． 【变式探究】 已知函数存在极大值与极小值，且在处取得极小值. （1）求实数的值； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. （参考数据：） 考点三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题 【典例5】已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（ ） A． B． C． D． 【典例6】已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【变式探究】 1．已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若恒成立，求实数a的最大值.（e为自然对数的底） 2.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 考点四：利用导数证明、解不等式问题 【典例7】已知函数，则使不等式成立的的最小整数为（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 【典例8】已知函数. （Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值． 【变式探究】 1．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 2.设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 考点五：利用导数解决生活中的最优化问题 【典例9】如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________. 【典例10】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米. （1）求桥AB的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其