专题05 求展开式中特定项的类型及方法-2020-2021学年高中数学之计数原理解题技法全指导

求展开式中特定项的类型及方法 1、 求有理项 例1.二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式. 的展开式中，无理项的个数是（ ） A.83 B.84 C.85 D.85 二、求系数最大的项 关于最大项的求解技巧 (1)求二项式系数最大的项： ①如果n是偶数，则中间一项(第(＋1)项)的二项式系数最大； ②如果n是奇数，则中间两项(第项与第(＋1)项)的二项式系数相等并最大. (2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A0，A1，A2，…，且第r＋1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项. 例2. 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。 变式.已知。⑴若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数； ⑵若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。 三、求多个展开式积的某一项 例3.在的展开式中，的系数是（ ） A. B. C. D.207 变式. (1＋)展开式中x的系数是________． 例4. 的展开式中整理后的常数项为_________. 变式．展开式中系数为(　　) A．－30 B．－40 C．－50 D．－60 小试牛刀 1.展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（ ） A．330 B．462 C．680 D．790 2．在二项式(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含项的系数是(　　) A．－25 B．－5 C．5 D．25 3.的展开式中，的系数为（ ） A．－40 B．10 C．40 D．45 4.在的展开式中，系数为有理数的项共有_____项. 5．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________． 6.关于二项式有下列命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中第六项为； ③该二项展开式中系数最大的项是第1002项； ④当x=2006时，除以2006的余数是2005. 其中正确的序号是___________(注：把你认为正确的命题序号都填上)。 7．在n的展开式中，已知第6项为常数项． (1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项． 8.已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 求展开式中特定项的类型及方法 1、 求有理项 例1.二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析：先求出n,再写出通项公式，有理项x的次数为整数。 解析：C 由题意知，。 ，r=0,1,…,8. 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2). 变式. 的展开式中，无理项的个数是（ ） A.83 B.84 C.85 D.85 解析：B ,若第r+1项为有理项，则均为整数，故r为6的倍数时，第r+1项为有理项，时的项为有理项，从而无理项共有项。 二、求系数最大的项 关于最大项的求解技巧 (1)求二项式系数最大的项： ①如果n是偶数，则中间一项(第(＋1)项)的二项式系数最大； ②如果n是奇数，则中间两项(第项与第(＋1)项)的二项式系数相等并最大. (2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A0，A1，A2，…，且第r＋1项系数最大，应用解出r来，即得系数最大项. 例2. 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。 解: ,依题意有的展开式中,二项式系数最大的项为. 设第r+1项系数最大，则有. 系数最大的项为,. 变式.已知。⑴若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的