专题04 二项式定理中的重要题型及解法-2020-2021学年高中数学之计数原理解题技法全指导

二项式定理中的重要题型及解法 1.求二项展开式中的指定项 例1.已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。 ⑴证明：展开式中没有常数项； ⑵求展开式中所有有理项。 变式.已知在的展开式中第5项为常数项,则的值为__________；展开式中所有的有理项为_____________. 2.求二项式中系数最大的项 例2.在的展开式中，求： ⑴二项式系数最大的项； ⑵系数绝对值最大的项； ⑶系数最大的项。 变式.已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值（ ） A. B. C. D. 3.赋值法求二项式的系数和 例3.若。 求：⑴；⑵；⑶. 变式.设，那么的值为（ ） A. B. C. D. 4.求多个二项式的和的特定项 例4.求的展开式中的系数。 变式.中的系数为______． 5.近似计算 例5.求的近似值（精确到） 变式. 精确到0.01的近似値是（ ） A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 6.整除或求余 例6．求证：能被25整除。 变式.设，且，若能被17整除，则的值为（ ） A 1 B. 4 C. 13 D. 16 小试牛刀 1．若，则的值是（ ） A． B． C． D． 2.已知，则（ ） A. B. C. D. 3.（多选题）若，则（ ） A. B. C. D. 4.（多选题）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 B. 展开式中第6项系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含项的系数为45 5.（多选题）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ） A. B. 展开式中常数项为160 C. 展开式系数的绝对值的和1458 D. 若为偶数，则展开式中和的系数相等 6.设n∈N*，则1n80+1n﹣181+1n﹣282+1n﹣383+……+118n﹣1+108n除以9的余数为______________ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 二项式定理中的重要题型及解法 1.求二项展开式中的指定项 例1.已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。 ⑴证明：展开式中没有常数项； ⑵求展开式中所有有理项。 分析：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数、常数项和有理项的概念区别。 解：依题意，前三项系数的绝对值是1，，且，即 ，。 。 ⑴若为常数项，当且仅当，即，展开式中没有常数项。 ⑵若为有理项，当且仅当为整数。，即展开式中的有理项共有三项，它们是。 点评：通项公式中含有五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素。在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项式中的特殊项），解决这类问题的关键是正确使用通项公式。 变式.已知在的展开式中第5项为常数项,则的值为__________；展开式中所有的有理项为_____________. 解析：答案为； ，， 展开式的通项公式为.因为第5项为常数项. 所以时，有，解得.有题意得，， 令，则所以可取，即可取1，4，7 它们分别为，，.故答案为：； ，， 2.求二项式中系数最大的项 例2.在的展开式中，求： ⑴二项式系数最大的项； ⑵系数绝对值最大的项； ⑶系数最大的项。 分析：求二项式系数最大的项，利用性质考虑，展开式中的中间项（或中间两项）；求系数最大的项，必须将x、y前的系数均考虑进去。 解：⑴二项式系数最大的项是第11项，。 ⑵设系数绝对值最大的项是第项，于是，化简得 ，解得。所以，即是系数绝对值最大的项。 ⑶由于系数为正的项为奇数项，故可设第项系数最大，于是 ，化简得，解得，即第项系数最大。。 点评：二项式系数、系数是两个不同的概念，二项式系数最大的项一定是展开式中的中间项（或中间两项）；而系数最大的项要通过解不等式组的方法解决，且一定要考虑系数前的符号。 变式.已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的值（ ） A. B. C. D. 解析：B 由题意可得，又展开式的通项公式为， 设第项的系数最大，则，即， 求得或6，此时，，，故选：B． 3.赋值法求二项式的系数和 例3.若。 求：⑴；⑵；⑶. 解：⑴令，则，令，则①， 。 ⑵令，则②，由得， 。 ⑶由得，。 点评：一般地，对于