专题2.3 数学归纳法-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版选修2-2）

专题2.3 数学归纳法 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共15题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．用数学归纳法证明1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)<n(n是正整数，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋eq \f(1,2)<2　　　　　　　 B．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<2 C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)<3 D．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)<3 2．观察下列式子：1＋eq \f(1,22)＜eq \f(3,2)，1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＜eq \f(5,3)，1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)＜eq \f(7,4)，则可归纳出1＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,32)＋eq \f(1,42)＋…＋eq \f(1,n2)＋eq \f(1,n＋12)小于(　　) A.eq \f(2n＋1,n＋1) B.eq \f(2n,n＋1) C.eq \f(2n＋1,n＋2) D.eq \f(2n＋1,n＋3) 3．某同学回答用数学归2＋n)纳法证明< n＋1(n∈N*)的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；(2)假设n＝k时有eq \r(kk＋1)<k＋1，那么当n＝k＋1时，eq \r(k＋12＋k＋1)＝eq \r(k2＋3k＋2)<eq \r(k2＋4k＋4)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的，由(1)、(2)可知对于n∈N*命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　) A．当n＝1时，验证过程不具体 B．归纳假设的写法不正确 C．从k到k＋1的推理不严密 D．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设 4．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从k到k＋1，左边需要增乘的代数式为(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C.eq \f(2k＋1,k＋1) D.eq \f(2k＋3,k－1) 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2”成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立，那么，下列命题成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 6．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(　　) A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都可能 7．数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝1－eq \f(1,an)，则a2 013等于(　　) A.eq \f(1,2) B．－1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 8．凸n边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)＝f(n)＋________. 9．已知等差数列{an}中，有eq \f(a11＋a12＋…＋a20,10)＝eq \f(a1＋a2＋…＋a30,30)，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________________. 10．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被14整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1应变形为________． 11．已知f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)，n∈N*，用数学归纳法证明f(2n)>eq \f(n,2)时，f(2n＋1)－f(2n)＝________. 三、解答题（本大题共4小题，第12-14题各11分，第15题12分，共45分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．用数学归纳法证明eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,3×4)＋…＋eq \f(1,