预测07 锐角三角函数实际应用-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测07 锐角三角函数实际应用 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①根据已知条件直接求出所需要边的长度。 ②需要用方程思想，才能求出边的长度。 锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。 1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。 2．从题型角度看，以解答题为主，分值9分左右！ 特殊角的三角函数值 三角函数 定义 30° 45° 60° sin cos tan 仰角和俯角的定义 坡比的定义 坡比= =tanα 锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定要记得设未知数，利用方程思想。 1．（2020年辽阳中考）如图，我国某海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离．（结果保留根号） 【分析】过点A作AD⊥BC于D，求出∠ABC＝60°，在Rt△ABD中，∠DAB＝30°，由三角函数定义求出AD＝AB•sin∠ABD＝40，求出∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝45°，则△ADC是等腰直角三角形，得出ACAD＝40海里即可． 【解析】过点A作AD⊥BC于D，如图所示： 由题意得：∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∠DAB＝90°﹣60°＝30°，AD＝AB•sin∠ABD＝80×sin60°＝8040， ∵∠CAB＝30°+45°＝75°， ∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝75°﹣30°＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴ACAD4040（海里）． 答：货船与港口A之间的距离是40海里． 2．（2020年江西中考）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位） （1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离； （2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，1.732） 【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离； （2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可． 【解析】（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N， 由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°， 在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝8040 （mm）＝FM， ∠DCN＝90°﹣60°＝30°， 又∵∠DCB＝80°， ∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°， ∵AM⊥DE，CN⊥DE， ∴AM∥CN， ∴∠A＝∠BCN＝50°， ∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°， 在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44， ∴AM＝AF+FM＝51.44+40120.7（mm）， 答：点A到直线DE的距离约为120.7mm； （2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°， 在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40， ∴tan∠D0.500， ∴∠D＝26.6°， 因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°， 答：CD旋转的角度约为33.4°． 3.（2020年随州中考）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米． （1）求A与C之间的距离； （2）求天线BE的高度．（参考数据：1.73，结果保留