易错点15 导数中的零点问题-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点15 导数中的零点问题 一、单选题 1. 已知函数，是的导函数，若关于x的方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由， 所以函数的定义域为， ， 则方程， 即为， 化简可得， 由关于x的方程有两个不相等的实根， 所以可知方程有两个不相等的实根， 故令， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减． 所以， 又， 所以， 故可知． 故选C 2. 设函数，则零点的个数为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】解：函数的定义域为． 令，解得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 当时，函数取得极大值即最大值． ． 当且时，；当时，． 故函数有且只有两个零点． 故选：B． 3. 已知函数，要使函数的零点个数最多，则k的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当时，，当时，， 可得在上递减，在递增， 所以有最小值，且时，， 当x趋向于负无穷时，趋向于0，但始终小于0， 所以，当时，关于x的方程无解； 当时，关于x的方程有一个实根； 当时，关于x的方程有两个实根； 因为函数的图象过点， 所以关于t的方程不可能在区间内有两个不等实根， 要使函数的零点个数最多，需使关于t的方程在区间和各有一个实根， 即需使 解得， 故选B． 4. 已知函数满足，当，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：设，则，，， 函数满足， ， ， 在区间内，函数有三个不同零点， 在区间上有三个解，即有三个解， 则与的图象有三个交点， 当，，则，令，解得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当处，函数在上取最大值， 当，，则，解得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 当处，函数在上取最大值， 根据函数的单调性，以及，，，，， 画出函数的大致图象，根据图象可知与在上一个交点，在上两个交点， 在区间内，函数有三个不同零点， 则实数a的取值范围是． 故选B． 5. 关于函数，下列说法正确的是 是的极小值点； 函数有且只有1个零点； 恒成立； 设函数，若存在区间，使在上的值域是，则． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 函数的导数， 上，，函数单调递减，上，，函数单调递增， 是的极小值点，即正确； ， ， 函数在上单调递减， 当时，， 当时，， 函数有且只有1个零点，即正确； 令， 则， 即不恒成立，即错误； 函数 令， ， 当时，， 在上单调递增， ， 在上单调递增， 在上单调递增， 在上的值域为， 方程在上有两解a，b． 即在上有两解， 令， 所以， 令， 则， 即在上单调递增， 又， 所以当时，，即， 当时，，即， 即在内单调递减，在内单调递增， 又，， 若要在上有两解， ． 故正确， 故正确的为 ， 故选C． 6. 已知函数满足，当时，下列说法：                只有一个零点 有两个零点    有一个极大值 其中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意可知，函数的定义域为， 令，则， 则为常数， 又，则，解得， 故，， 当，，单调递增； 当，，单调递减； 故当时，取得极大值． 下面逐一分析各个选项： ，故错误； 令，解得，故正确，错误； 可知有唯一的极大值，故正确． 故选D． 7. 若函数在上存在两个极值点，则a的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：函数在上存在两个极值点， 等价于在上有两个零点， 令，则，即， 或， 满足条件； 其中且有且仅有一解， ，其中； 设，其中； 则， 函数是单调增函数，至多有一解； ， ， 故选D． 8. 已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是 A. 函数在上为单调递增函数 B. 是函数的极小值点 C. 时，不等式恒成立 D. 函数至多有两个零点 【答案】C 【解析】解：因为  所以当时，，在上单调递增，A选项正确  当时，，在上单调递减，，B选项正确；   若，且，则有一个或两个零点，  若， 则有1个零点  若，则有没有零点  所以D选项正确； 在上单调递减，在上单调递减，， ，，C选项错误， 故选C． 二、填空题 9. 已知函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 【解析】解：因为且， 当时，在递减，在递增， 由题意，得，此时． 故，则， 故函数在递增， 所以， 故答案为． 10. 已知函数，若函数在上无零点，则a的最小值为________． 【答案】 【解析】解：因为在区间上不可能恒成立， 所以要使函数在