易错点13 导数在解决实际问题中的应用-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点13 导数在解决实际问题中的应用 一、单选题 1. 某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足，，则总利润最大时， A. 25 B. 26 C. 24 D. 28 【答案】A总利润． 由，得令，得令，得． 所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，总利润最大． 故选A． 2. 把一段长为的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：设一段长为x，则另一段为， 则 ， ． 令，得，当时，， 当时，， 当时，最小． ． 故答案选D． 3. 菱形ABCD的边长为2，现将沿对角线AC折起使平面平面ACB，求此时所成空间四面体体积的最大值 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】解：设，， ， ，又平面ABC， ， 设，则，且， ， 当时，，当时，， 当时，取得最大值， 四面体DABC体积的最大值为． 故选：A． 4. 现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为 A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】设单位面积铁的造价为m，总的造价为y， 那么，即， 由，则， ， 令，解得． 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增． 所以当时，造价最低， 此时，则． 故选B． 5. 一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：四棱锥如图， 设底面正方形边长的一半为x， 则有， ． 设， 则， 由，可得舍或． ． 故选：A． 6. 已知函数，若对任意，存在使得，则a的最大值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：，． 当时，． 若对，，使得，即，使得． 的值域为的值域包含 又当时，， 令，则为奇函数，且 ， 当时，，当时，． 若，则当时，有最小值，这时，于是这时． 因此，对任意，． 由，得：． 故选C． 7. 原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出、、等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量单位：贝克与时间单位：天满足函数关系，其中为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则 A. 12贝克 B. 贝克 C. 6贝克 D. 贝克 【答案】A 【解析】解：因为，其中为时钍234的含量， 钍234的含量的变化率为， 所以当时，， 所以，可解得贝克． 故选A． 8. 设函数，其中，，若存在，使得成立，则实数a的值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方， 动点M在函数的图象上，N在直线的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由得，，解得， 曲线上点到直线的距离最小，最小距离， 则， 根据题意，要使，则，此时N恰好为垂足， 由，解得， 故选A． 二、单空题 9. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当_______时，方盒的容积V最大。 【答案】 【解析】解：由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒， 所以无盖方盒的底面是正方形，且边长为，高为x， 则无盖方盒的容积，； 即，； ， 当时，； 当时，； 故是函数的最大值点， 即当时，方盒的容积V最大． 故答案为：． 10. 如图，内接于抛物线的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】解：设，则点C坐标为． 点B坐标为 所以矩形ABCD的面积 ． 由， 得舍去，， 所以时，，是递增的， 时，，是递减的， 当时，取最大值． 11. 如图，C、D是两所学校所在地，C、D到一条公路的垂直距离分别为为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C、D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设，则当最小时，_______km． 【答案】12 【解析】解：在中，由题意可知，则， 同理在中，，则， 令，； 则， 由，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以时，取得最小值， 此时， 所以当最小时，． 故答案为：12． 12. 2019年底，武汉发生“新型冠状病毒”肺炎疫情，