易错点12 函数的单调性、极值和最值问题-冲刺2021年高考数学二轮易错题型专项突破

易错点12 函数的单调性、极值和最值问题 一、单选题 1. 函数的单调增区间是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】解：函数的定义域为， 又， 令，即， 化简得， 解得， 又函数的定义域为， 故函数的单调递增区间为和． 故选A． 2. 在处有极小值，则常数c的值为 A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1 【答案】A 【解析】解：函数， ， 又在处有极值， ， 解得或6， 又由函数在处有极小值，故， 时，函数在处有极大值， 故选A． 3. 函数有小于1的极值点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：因为， 所以函数定义域为， 由得，，， 又函数有小于1的极值点， 所以且，所以， 故选B． 4. 设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：要对任意的，总存在，使得， 则的值域是的值域的子集， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以， 因为函数且， 所以在上单调递增， ，， 所以， 因为的值域是的值域的子集， 所以且， 解得． 故选D． 5. 下列说法正确的是 A. 若p：，，则． B. 命题“已知，若，则或”是真命题． C. “在上恒成立”“在上恒成立”． D. 函数的最小值为2． 【答案】B 【解析】解：对于选项A，若：，，则：，所以该选项不正确； 对于选项B，命题“已知，若，则或”的逆否命题为“若且，则”，由于逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，所以该选项正确； 对于选项C，“在上恒成立”不等价于“在上恒成立”，因为不等式两边的自变量都是“”，它只表示两边函数取相同的自变量时，左边的函数值不小于右边的函数值，所以不等价于“在上恒成立”所以该命题不正确； 对于选项D，函数的最小值不是设， 所以因为，所以函数在单调递增，所以函数的最小值为，所以该选项错误． 故选：B． 二、单空题 6. 已知在单调递减，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】解：由题可得， 而在上单调递减， 则对恒成立， 因此有 解得 即． 所以m的取值范围是  ． 故答案为 ． 7. 已知函数e是自然对数的底数若有且仅有3个负整数，，，使得，，，则a的最小值是______． 【答案】 【解析】解：由可得． 令，， 则， 当，，当，，故是极小值点， 且，故的图象如图所示． 显然，当时满足的负整数x有无数个， 因此． 此时必须满足即， 解得，则a的最小值是， 故答案为． 8. 已知函数在处取得极值，若，则的最大值是_______． 【答案】 【解析】解：，则． 依题意可得，可得． 所以． 当，此时单调递增， 当在上单调递减， 所以，即． 所以的最大值为． 9. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表， 的导函数  的图象如图所示下列关于  的命题： x 0 4 5 1 2 2 1 函数的极大值点为0，4； 函数在上是减函数； 如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4； 函数与的交点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是____________________． 【答案】． 【解析】解：由导函数的图象知，函数的最大值点为0与4，故正确； 由已知中的图象可得在上， 即在是减函数，即正确； 由已知中的图象，及表中数据可得当或时，函数取最大值2， 若时，的最大值是2，那么，故t的最大值为5，即错误；函数在定义域为共有两个单调增区间，两个单调减区间，故函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个，即函数与的交点个数可能为0、1、2、3、4个，因正确，综上可得正确命题的序号是． 故答案是． 三、解答题 10. 已知函数，其导函数的图象关于y轴对称，． Ⅰ求实数m，n的值； Ⅱ若函数的图象与x轴有三个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】解：Ⅰ函数的图象关于y轴对称，． 又，解得，． Ⅱ问题等价于方程有三个不相等的实根时，求的取值范围． 由Ⅰ，得令，解得． 当或时，，在，上分别单调递增． 又当时，，在上单调递减． 的极大值为，极小值为． 实数的取值范围为． 11. 已知函数，且在处取得极值． 求曲线在处的切线方程； 求在上的最大值和最小值． 【答案】解：，由 得所以． 因为， 所以曲线在处的切线方程为． 由知，， 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故． 因为，，所以． 12. 如图，在四棱锥中，底面菱形ABCD的两对角线的交点为O，，，且，，E为AO的中点． 证明：； 设P为截面SAC上的动点，满足设F，G分别为AB，BC的中点，求点P到平面SFG的最大距离． 【答案】解