专题08 坐标法-备战2021届高考数学解题方法和数学思想专练

专题08 坐标法 【方法指导】 坐标法是数学计算中的一个重要工具。它将数学中的几何和代数巧妙地联系起来，使一部分问题的解决变得容易简单，很多试题，当你无法找到突破口时，使用坐标法会给你一种新的启迪和解题灵感。利用坐标法时，要合理建系，根据坐标运算和性质，建立等式或代数关系解决问题。 【例题解读】 【典例1】 在平行四边形 中， ， ，点 为边 的中点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系，利用坐标法即可得到结果. 【详解】 ∵ ， ∴ ，如图建立平面直角坐标系， ， ∴ ， ∴ ， 故选：C 【典例2】 如图所示，正方体 中，点 分别在 上， ， ，则 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，求出点的坐标， ， ，进而可得结果. 【详解】 以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则 ，设EF与 所成的角为 ， 则 故选：C 【典例3】如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足．平面 上的动点 满足 ，则点 的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】 首先建立空间直角坐标系，设 EMBED Equation.DSMT4 ，则点 的轨迹是椭圆． 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 设 所以点 的轨迹是椭圆． 故选：B. 【点晴】 方法点睛：本题考查空间向量、轨迹及其方程，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查空间想象能力逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 【典例4】如图，在边长为 的正方形 中， ， 分别是边 ， 上的两个动点，且 ， 为 的中点， ，则 的最大值是______． 【答案】 【分析】 建立直角坐标系，，设 ， ，然后根据 得 ，再设 ， ， ，根据 ，表示出 ，进而表示出 ，换元之后利用基本不等式求解最值. 【详解】 以 为坐标原点，以 ， 所在直线为 ， 轴建立平面直角坐标系，设 ， ，则 ． 由 可得 ，所以可设 ， ， ． 因为 ，由 可得 ， ， 所以 ．设 ， ， 则 ， 即当 时， 取最大值，最大值为 ． 故答案为： . 【点睛】 一般关于平面向量中的最值运算，如果没有坐标的话，通常根据题意建立直角坐标系，利用坐标表示向量的关系，然后数形结合，将式子转化为函数的最值或者利用基本不等式求解最值. 【专题训练】 一、单选题 1、在 中， ，点P是 的中点，则 （ ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】 建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得； 【详解】 解：如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ， 所以 ， ，所以 故选：C 2、已知 中， ， ，点 是线段 上靠近点 的三等分点，点 在线段 上，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，设点 ，其中 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得 的最小值. 【详解】 由 ，可知 . 以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，如图所示. 则 、 、 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 故 . 令 ， ，则当 时，函数 有最小值， 且 ，即 的最小值为 ， 故选：C. 【点睛】 方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 3、在平面直角坐标系 中，已知A，B两点在圆 上，若直线 存在点C，使 是边长为1的等边三角形，则点C的横坐标是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】 设点 ，由 是等边三角形，得到四边形 为菱形，求得 ，列出方程，即可求解. 【详解】 如图所示，设点 ，连接 ， ， ， 由 是边长为 的等边三角形，故四边形 为菱形， 所以 ， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 可得 ，即 ， 所以 ，解得 . 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，着重考查了方程思想和数形结合法的应用，以及运算能力，属于基础题. 4、某三棱柱的平面展开图如图，网格中的小正方形的边长均为1，则在原三棱柱中，异面直线 和 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将平面展开图折成立体图形，建立如图所示的空间直角坐标系 .根据线线角的向量方法可得选项． 【详解】 将平面展开图折成立体图形，建立如图所示的空间直角坐标系 .