预测01与垂径定理相关的压轴题(燕尾及半角模型)-【临门一脚】2021年中考数学三轮冲刺过关（上海专用）

预测01与垂径定理相关的压轴题(燕尾及半角模型) 2015-2020上海中考“圆”几何证明题考点及分值分布 年份 题型      考点  分值 15 综合25 25-1同圆的半径相等+全等三角形的判定； 25-2相似三角形的判定+相似三角形的性质； 25-3直角三角形的存在性 14 16 证明23 23-1垂径定理+全等三角形的判定、性质 23-2全等三角形的判定、性质+平行四边形判定 12 17 综合25 25-1同圆的半径相等+A.A判定三角形相似 25-2直角三角形的存在性+特殊角 25-3比例中项 14 18 综合25 25-1垂径定理+四者关系 25-2锐角三角比+构造平行线 25-3圆与正多边形、中心角 14 19 证明23 23-1全等三角形的判定、性质 23-2相似三角形的判定(SAS)+菱形判定 12 20 证明25 25-1垂径定理+等腰三角形的三线合一 25-2等腰三角形的存在性问题 25-3构造平行线+勾股定理 14 从考点分布来看，上海中考中与圆相关的几何证明，其考点主要围绕着垂径定理和相似三角形、全等三角形、勾股定理、锐角三角比展开，同时涵盖了分类讨论思想，综合性较强。 2015-2020上海中考“圆”几何证明背景图形 垂径定理背景下的压轴题 1．（2016·上海中考真题）已知，如图，⊙ 是 的外接圆， ，点 在边 上， ∥ ， ． （1）求证： ； （2）如果点G在线段上（不与点 重合），且，求证：四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等． 【详解】（1）在⊙ 中，∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ∥ ，∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ≌ ，∴ ； （2）联结 并延长，交边 于点 ， ∵ ， 是半径，∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ，即 ． ∵ ，∴ ．又∵ ∥ ，∴四边形 是平行四边形． 2．（2018·上海中考真题）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F． （1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长； （2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值； （3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积． 【答案】（1）AC= ；（2）cot∠ABD= ；（3）S△ACD= ． 【分析】（1）由AC=BD知 ，得 ，根据OD⊥AC知 ，从而得 ，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案； （2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t= ，即可知BC=DF= ，继而求得EF= AC= ，由余切函数定义可得答案； （3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD= 、OF= ，从而根据三角形面积公式计算可得． 【详解】（1）∵OD⊥AC，∴ ，∠AFO=90°， 又∵AC=BD，∴ ，即 ， ∴ ，∴ ，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°， ∵AB=2，∴AO=BO=1，∴AF=AOsin∠AOF=1× = ，则AC=2AF= ； （2）如图1，连接BC， ∵AB为直径，OD⊥AC，∴∠AFO=∠C=90°，∴OD∥BC，∴∠D=∠EBC， ∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴BC=DF、EC=EF，又∵AO=OB，∴OF是△ABC的中位线， 设OF=t，则BC=DF=2t，∵DF=DO﹣OF=1﹣t，∴1﹣t=2t， 解得：t= ，则DF=BC= 、AC= = ， ∴EF= FC= AC= ， ∵OB=OD，∴∠ABD=∠D，则cot∠ABD=cot∠D= ； （3）如图2， ∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边， ∴∠BOC= 、∠AOD=∠COD= ，则 +2× =180， 解得：n=4，∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，∴BC=AC= ， ∵∠AFO=90°，∴OF=AOcos∠AOF= ， 则DF=OD﹣OF=1﹣ ，∴S△ACD= AC•DF= × ×（1﹣ ）= ． 【点睛】本题考查了圆的综合题、解直角三角形的应用等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活应用垂径定理、正弦三角函数、余弦三角函数、余切三角函数、全等三角形的判定与性质、正多边形与圆等知识是解题的关键. 3．（2020·上海中