精选09 导数及其应用（选择与填空）-2021年高考数学108所名校押题精选（新高考地区专用）

精选09 导数及其应用（选择与填空） 1．导数运算及切线的理解应注意的问题： （1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． （2）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 2．解答比较函数值大小问题，常见的思路： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答． 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用． 3．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．恒（能）成立问题的解法： 若在区间D上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 若能分离常数，即将问题转化为（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；． 一、单选题 1．曲线在处的切线的倾斜角是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线的倾斜角是，故选B. 2．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是 A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】设切线的斜率为，由，则， 则有．故选D． 3．若函数在上是单调减函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，， 因为在[1，+∞）上是单调减函数， 所以≤0在[1，+∞）上恒成立， 当≤0时，则在[1，+∞）上恒成立， 即a，设g（x）， 因为x∈[1，+∞），所以∈（0，1]， 当时，g（x）取到最大值是，所以a， 所以数a的取值范围是（﹣∞，]故选A 【名师点睛】根据求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，将问题转化为恒成立问题，利用分离常数法，求函数值域，属于中档题． 4．函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数， 所以， 由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选C 5．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是 A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝21 C．a<0或a>21 D．0<a<21 【答案】A 【解析】因为函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax，所以， 因为函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点，所以 恒成立， 所以，解得， 所以函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是0≤a≤21，故选A 6．已知函数，若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，则a的取值范围为 A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） C．（3，+∞） D．（﹣1，3） 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程有两个不等的实根， 则，即，解得a＞3或a＜﹣1， 所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故选B． 7．已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（1）当时，当时，，当时，， 则在处取到极小值，不符合题意； （2）当时，函数无极值，不符合题意； （3）当时，当时，，当时，， 则在处取到极大值，符合题意； （4）当时，，函数无极值，不符合题意； （5）当时，当时，，当时，， 则在处取到极小值，不符合题意； 综上所述，故选． 8．已知函数的导函数为偶函数，则的图象在点处的切线方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得，， 由为偶函数，得，所以， 所以的图象在点处的切线的斜率为， 所求的切线方程为，即．故选． 9．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 对于恒成立， 由二次函数的性质可得，即，解得， 所以的取值范围是，故选B． 10．函数的单调递增区间为 A． B． C． D．， 【答案】D 【解析】因为 ， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 所以的单调递增区间为和，故选D． 11．已知函数，其导函数为．有下列命题： ①的单调减区间是； ②的极小值是； ③当时，对任意的且，恒有 ④函数有且只有一个零点． 其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】，其导函数为． 令，解得，， 当时，即，或时，函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减； 故当时，函数有极小值，极小值为，当时，函数有极大值，极大值为，故函数只有一个零点，①错误，②③正确