考点10 数列（5）-备战2021年高考数学经典解答题压轴题考前必刷（全国通用）

考点10 数列（5） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 【真题分析】 例 1．（2020·江苏苏州市·高三其他模拟）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列. （1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由； （2）设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围； （3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）当是数列时，与满足的条件为或，证明见解析. 【分析】 (1)由数列定义知，仅需验证当时，恒成立即可； (2)写出，的表达式，则对满足的任意都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解的范围； (3)根据数列是数列，可以得到，所以需要分，和，去讨论，和(2)相似，还是去求解使得的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的的取值范围即可.在证明命题“若且，则不是数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列的项都在数列中、数列的项都在数列中的情况.若数列至少有一项不在数列中，且数列至少有以一项不在数列中,先去掉其公共项得到数列，，设数列的最大项为，且数列的最大项比数列的最大项大，然后根据数列是数列的性质,得到,从而推出矛盾，进而所求证得证. 【详解】 (1)∵， ∴， 当时，， 故， 那么当时，，符合题意， 故数列是数列； (2)由题意知，该数列的前项和为，， 由数列是数列，可知，故公差， 对满足的任意都成立，则，解得， 故的取值范围为； (3)①若是数列，则， 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 由，，故，可得； 若，则，又由对一切正整数都成立，可知，即对一切正整数都成立， 又当时，当时不成立， 故有或，解得， ∴当是数列时，与满足的条件为或； ②假设是数列，则由①可知，，，且中每一项均为正数， 若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知； 若中的每一项都在中，同理可得； 若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中， 设，是将，中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为，， 不妨设，中最大的项在中，设为， 则，故，故总有与矛盾，故假设错误，原命题正确. 【点睛】 本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题. 【真题演练】 2．（2020·滨海县八滩中学高三二模）给定数列，对，该数列前i项的最大值记为，后项的最小值记为，． （1）设，求； （2）设是公比大于1的等比数列，且时，证明：成等比数列； （3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：成等差数列． 3．（2020·滨海县八滩中学高三其他模拟）已知是数列的前n项和，，且． （1）求数列的通项公式； （2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值； （3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n. 4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三其他模拟）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列． （1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式； （2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列； （3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立． 5．（2020·江苏苏州市·常熟中学高三其他模拟）设 （，）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值； （2）设（），且各项系数，，，…，互不相同．现把这个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设是第i列中的最小数，其中，且i，．记的概率为．求证：． 6．（2020·邵阳市第二中学高三其他模拟（理））已知函数，设． （1）判断函数零点的个数，并给出证明； （2）首项为的数列满足：①；②．其中．求证：对于任意的，均有． 7．（2020·上海普陀区·高三三模）已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，. （1）已知数列：，写出集合及； （2）求证：不存在， （3）求的最大值以及的最小值，并说明理由. 8．（2021·全国高三专题练习）已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列. （1）求数列的通项公式，并证明：； （2）证明：，有. 9．（2020·全国高二单元测试）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且a3＝a2+2，a2•a4＝16.数列{bn