专题03立体几何与空间向量-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）立体几何二轮突破提升》 专题03立体几何与空间向量 【考情分析】　空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度． 考点一　利用空间向量求空间角 重点热点 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ， 则cos θ＝＝. (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ， 则sin θ＝＝|cos〈a，u〉|. (3)二面角 设α－a－β的平面角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cos〈u，v〉|. 考向1　求线面角 例1　(2020·宁波余姚中学月考)如图，已知三棱锥P－ABC，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝PC＝2，∠ABC＝120°. (1)求证：PA⊥BC； (2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值． 【解析】(1)证明　AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋4－2×2×2×＝12，故AC＝2. 又PA2＋AC2＝4＋12＝16＝PC2，故PA⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，故PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，故PA⊥BC. (2)解　由(1)知PA⊥平面ABC，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 则A(0,0,0)，B(1，，0)，P(0,0,2)，C(0,2，0)，E(0，，1)． 故＝(0，，1)，＝(0,2，－2)，＝(－1，，0)， 设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，有故可取m＝(，1，)， 设直线AE与平面PBC所成的角为θ， 则sin θ＝ ＝＝， 所以直线AE与平面PBC所成角的正弦值为. 考向2　二面角 例2　(2020·全国Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC； (2)求二面角B－PC－E的余弦值． 【解析】(1)证明　由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1， 则DO＝，CO＝BO＝AE＝， 所以PO＝DO＝， PC＝＝，PB＝＝， 又△ABC为等边三角形，则＝2OA， 所以BA＝， PA＝＝， PA2＋PB2＝＝AB2，则∠APB＝90°， 所以PA⊥PB，同理PA⊥PC， 又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC. (2)解　过O作ON∥BC交AB于点N， 因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，P， B，C， ＝， ＝，＝， 设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， 由得 令x1＝，得z1＝－1，y1＝0，所以n＝(，0，－1)， 设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)， 由得 令x2＝1，得z2＝－，y2＝， 所以m＝， 故cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角B－PC－E的余弦值为. 【易错提醒】　(1)解题时要建立右手直角坐标系． (2)注意求线面角的公式中sin θ＝|cos〈a，u〉|，线面角的取值范围是. (3)利用空间向量求二面角要结合图形判断所求角是锐角还是钝角． 考点二　利用空间向量解决探究性问题 重点热点 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． 例3　如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点． (1)求证：EM⊥AD； (2)求二面角A－BE－C的余弦值； (3)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解析】(1)证明　∵EA＝EB，M是AB的中点， ∴EM⊥AB， ∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EM⊂平面ABE， ∴EM⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴EM⊥AD. (2)解　连接MC，∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC， ∵△ABC是正三角形，∴MC⊥AB， ∴MB，MC，ME两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系Mxyz. 则M(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，E(0,0，