押第16题 球与几何体的切接-备战2021年高考数学(理)临考题号押题（全国卷1）

押第16题 球与几何体的切接 球与几何体的切接是高考的热点与难点，常作为客观题中的压轴题，考查热点是几何体的外接球，此类问题要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 2019年与2020年全国Ⅰ卷以选择题形式考查了球与几何体的切接,预测2021年全国Ⅰ卷以填空题形式考查球与几何体的切接的可能性较大,难度依然会比较大. 1. 空间几何体与球接、切问题的求解方法 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 2. 正方体与球有关的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a. 3.球与正棱柱 球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱 的高为 底面边长为 ，如图2所示， 和 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高 的中点 ， 借助直角三角形 的勾股定理，可求 . 4.球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体 的棱长为 ，内切球半径为 ，外接球的半径为 ,取 的中点为 ， 为 在底面的射影，连接 为正四面体的高.在截面三角形 ,作一个与边 和 相切，圆心在高 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为 .此时， , 则有 解得： 这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便. 5.三棱锥中的补型 (1)球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心. ( 为长方体的体对角线长). (2)若三棱锥的3组侧棱长分别相等，可把3组对棱分别作为长方体的3组相对面的对角线，补成长方体确定其外接球半径。 6.球与正棱锥 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 7.球与直三棱柱与圆柱 直三棱柱与圆柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心（或圆心）连线的中点。 8.球与球的组合体 对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解. 1.（2020年高考全国Ⅰ卷理）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，得 ，由正弦定理可得 ， ，根据球的截面性质 平面 ， ，球 的表面积 . 2.（2020年高考全国II卷理）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 设球 的半径为 ，则 ，解得： .设 外接圆半径为 ，边长为 ， 是面积为 的等边三角形， ，解得： ， ， 球心 到平面 的距离 . 3.（2020年高考全国Ⅲ卷理）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________． 【答案】 【解析】 【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中 ，且点M为BC边上的中点， 设内切圆的圆心为 ， 由于 ，故 ， 设内切圆半径为 ，则： EMBED Equation.DS