押第14题 三角函数的图象与性质-备战2021年高考数学(理)临考题号押题（全国卷1）

押第14题 三角函数的图象与性质 三角函数的图象与性质是高考全国卷考查的热点,均以小题的形式进行考查,常把多个知识点交汇考查，难度中等或中等以上,考查热点是三角函数的值域与最值、单调性与周期性、三角变换及三角函数的图象.2020年全国Ⅰ卷在选择题中考查了三角函数的图象，预测2021年在填空题中考查三角函数性质或性质与图象交汇题的可能性比较大. 1.三角函数定义域的求法 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)． 2.三角函数值域的求法 三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． 3. 三角函数的单调性 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． (3)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解． 4．三角函数图象的对称性 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． (2) 对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，如果求f(x)图象的对称轴，只需解方程sin(ωx＋φ)＝±1，也就是令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)求x；如果求f(x)图象的对称中心，只需解方程sin(ωx＋φ)＝0，也就是令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求x；③对于较复杂的三角函数表达式，有时可以通过恒等变换为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的情形， 5．判断三角函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性． 6．求三角函数的周期 (1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求． (2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y＝Asin(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)等类型后，用基本结论T＝eq \f(2π,|ω|)或T＝eq \f(π,|ω|)来确定；③根据图象来判断． 7．五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁． (2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来． 8．根据y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期，从而得到A与ω. A为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半． ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的eq \f(1,4)个周期(借助图象很好理解记忆)． (2)求φ的值时最好选用最值点求． 峰点：ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ； 谷点：ωx＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ. 也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ； 降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ(以上k∈Z)