预测13 计数原理及二项式定理-【临门一脚】2021年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）【学科网名师堂】

预测13 计数原理及二项式定理 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题☆☆☆☆ 填空题☆☆ 考向预测 1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题． 2、考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） 3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用. 1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题． 2、考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） 3、考查各项系数和和各项的二项式系数和；4、二项式定理的应用. 1、排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理，往往是排列组合小综合题． 2、二项展开式定理的问题是高考命题热点之一.关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用. 1、 排列、组合 1. 分类加法计数原理 完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法． 2. 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法． 3. 排列与排列数 (1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__Aeq \o\al(m,n)__表示． (3)排列数公式： Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n) Aeq \o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1． 4. 组合与组合数 (1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__Ceq \o\al(m,n)__表示． (3)组合数公式： Ceq \o\al(m,n)＝m,n)eq \f(A,Aeq \o\al(m,m)) ＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝ eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，并且m≤n)． (4)组合数的性质： 性质1：Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)． 性质2：Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m－1,n)＋Ceq \o\al(m,n)． 性质3：mCeq \o\al(m,n)＝n·Ceq \o\al(m－1,n－1)． 二、 二项式定理 1· 二项式定理的展开式 公式：(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*) 这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ceq \o\al(k,n)(k＝0，1，…，n)叫做二项式系数，式中的Ceq \o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk． 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1． (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式系数从Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，一直到Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n)． 一、杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和． (2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n