专练15（函数与导数压轴题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练15（函数与导数压轴题）（30道） 1．（2021·江苏高三其他模拟）已知函数． （1）若直线是曲线的切线，求实数k的值； （2）若对任意，不等式成立，求实数a的取值集合． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程，代入即可得解； （2）根据条件得不等式恒成立，令，根据函数导数讨论函数单调性可得，结合，构造函数求解即可. 【详解】 （1）因为，所以， 设切点为，此时切线方程为， 又直线过，所以，即 令，则，且在上单调递增， 所以方程有唯一解，所以 （2）不等式恒成立，即不等式恒成立． 方法1：令，则， 令，因为，所以， 所以有两个不等根，，，不妨设． 所以在上递减，在上递增． 所以． 由得，所以． 所以， 令，则， 所以在上递增，在上递减．所以 又，所以，所以，所以， 所以，实数a的取值集合为． 方法2：令，则， 所以是函数的极值点，所以，即 此时，， 所以在上递减，在上递增． 所以，符合题意， 所以，实数a的取值集合为. 【点睛】 一般利用导数解决不等式恒成立问题时，常用参变分离或者含参讨论，本题不适用参变分离，是难题.本题第二问解题的关键在于根据题意求导得，且，得，进而构造函数求解. 2．（2021·江苏苏州市·高三月考）已知函数，． （1）设函数，当时，求函数零点的个数； （2）求证：． 【答案】（1）个；（2）证明见解析． 【分析】 （1）分别求得和；①当时，由可得单调性；②当时，由得到单调性，结合零点存在定理可得到的正负，从而得到的单调性；综合①②可得在上的单调性，结合零点存在定理可确定零点个数； （2）利用分析法可知只需证明即可，通过导数可确定，将需证明的不等式化为； 方法一：设，求导后，结合零点存在定理可确定单调性，由此得到，结论得证； 方法二：设，利用导数可求得，得到，结论得证. 【详解】 （1）由题意得：，则， ； ①当时，，，，， 在上单调递增； ②当时，，，，， 在上单调递增， 又，且的图象在内连续， ，使得， 则当时，；当时，； 在内单调递减，在内单调递增， 综合①②可知：在内单调递减，在内单调递增， 又，，，且的图象在内连续， ，，使得， 函数在内零点的个数是个． （2）要证明：，即证：， 即证：…（*） 设，则， 在内单调递减，，， 要证（*）成立，只需证：. 方法一：设，则， 设，，在内单调递减， 又，，使得，即，， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减； ，则原命题得证． 方法二：设，则， 在单调递减，在单调递增， ，， ，，即成立，则原命题得证． 【点睛】 关键点点睛：本题考查导数在函数问题中的应用，包括利用导数求解零点个数、不等式的证明等知识；利用导数求解零点个数的关键是能够根据函数单调性与导函数的关系，结合零点存在定理确定导函数的正负，从而得到原函数的单调性，再根据极值与区间端点值符号确定零点个数. 3．（2021·江苏盐城市·高三二模）已知函数，． （1）当时，求证：； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）求出导函数，确定的单调性，得最小值，可证得不等式成立； （2），由不等式性质得，只有一个零点，时，利用导数确定函数的单调性与极小值，需多次求导才能确定，结合零点存在定理可得函数有2个零点，由此得参数范围． 【详解】 解：（1）当时，， 则 设， ． 因为， 所以， 因此 所以即在上单调递增， 于是， 因此在上单调递增， 所以． （2）由（1）知，当时， 当且仅当时取等号， 此时函数仅有个零点． 当时，因为， 所以， 设， ． 当时， 所以即单调递增． 当时，设， ． 因为， 所以 所以即单调递增． 又 ， 因此在上存在唯一的零点，且． 当时，， 所以即单调递减； 当时，， 所以即单调递增． 又， 因此在上存在唯一的零点，且． 当时，所以单调递减； 当时，所以单调递增． 又 所以在上存在唯一零点， 因此在上有两个零点． 综上，的取值范围是． 【点睛】 关键点点睛：本题考查用导数证明不等式，由函数零点个数求参数范围．解题关键是利用导数确定函数的单调性与极值．然后结合零点存在定理确定零点个数．难点是在确定极值时，需要确定的正负，需要对导函数多次求导才能得出结果． 4．（2021·江苏高三专题练习）已知函数（ …是自然对数的底数）． （1）若在内有两个极值点，求实数 a的取值范围； （2）时，讨论关于x的方程的根的个数． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】 （1）若在内有两个极值点，则在内有两个不相等的变号根，等价于在上有两个不相等的变号根．令，分类讨论有两个变号根时的范围；（2）化简原式可得：，分别