专练14（圆锥曲线压轴题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练14（圆锥曲线压轴题）（30道） 1．（2021·江苏盐城市·高三二模）已知直线交抛物线于两点． （1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值； （2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）设，直线方程代入抛物线方程后由判别式得的范围，由韦达定理得，再由向量的数乘可得＝0，结合韦达定理可得值； （2）设，由对称性得，．再由在抛物线上，代入变形得与的关系，然后计算，得， 同理，得证四点共圆． 【详解】 解：由得． 设， 则． 因为直线与相交， 所以 得． （1）由，得， 所以，解得 从而， 因为 所以解得． （2）设， 因为两点关于直线对称， 则 解得． 又 于是 解得． 又点在抛物线上， 于是． 因为 所以， 于是 因此， 同理 于是点在以为直径的圆上， 即四点共圆． 【点睛】 方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，如设交点坐标为，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理可得，再利用向量的线性运算求得关系，从而可求得值． 2．（2021·江苏高三专题练习）椭圆：的左右焦点分别为、，且椭圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过原点作两条相互垂直的直线、，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：四边形的内切圆半径为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先利用椭圆的定义求得a，再根据椭圆的左右焦点为、得到c即可. （2）当的斜率为时，四边形为正方形，求得即为内切圆半径；当的斜率不等于时，设，，直线的方程为，代入椭圆方程，根据，即，结合韦达定理求得k，t的关系，再由原点到直线的距离求解. 【详解】 （1）因为椭圆的左右焦点分别为、，且椭圆过点， 所以， 所以， 又，得， 所以椭圆的标准方程为：． （2）如图所示： 当的斜率为时，四边形为正方形， 与联立，解得， 因为NQ垂直于x轴，所以， 当的斜率不等于时，设，，直线的方程为：， 代入椭圆方程并整理得：， ，即， 由韦达定理得：，， 因为， 所以， 即 ，即 ， 所以， 整理得（*），适合成立 所以， 综上得：． 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是设直线NQ的方程，将内切圆半径转化为原点到直线NQ的距离求解. 3．（2021·南京市中华中学高三期末）已知离心率为的椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条动直线与椭圆的另一交点分别为、 (、皆异于点)．若，求的面积最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由离心率计算出，再将点代入椭圆方程，求得椭圆的标准方程；（2）首先设出直线，与椭圆方程联立，求得点坐标，同理可得点的坐标，并表示直线的方程，利用表示，利用导数求面积的最大值. 【详解】 （1）由条件可知，则，即， 椭圆方程为，代入点，得，， 所以椭圆方程是； （2）设过点的直线的方程：，与椭圆方程联立， 得， ，得， 同理，因为，所以， ， , 直线的方程为，整理为：， 由题意可知点,点到直线的距离， ， 设函数，函数是奇函数，所以直线考查时，函数的最大值， 整理为，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值是. 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，本题的难点是计算量偏大，关键是正确表示点的坐标. 4．（2021·江苏高三专题练习）已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、、，联立直线与椭圆的方程，列出韦达定理，由，可得出、的表达式，结合韦达定理可计算得出为定值. 【详解】 （1）因为椭圆的焦距为，所以， 又椭圆过点，，且满足， 可得，，椭圆的标准方程为：； （2）设点、，， 由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，可得， 由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点， 由韦达定理可得，， ，，， 得，， ，， . 【点睛】 方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．（2021·盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆离心率为，点A，B，D，E分别是C的左，右，上，下顶点，且四边形的面积为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知F是C的右焦点，过F的直线交椭圆C于P，Q两点，记直线，的交点为T，求证：点T横坐标为定值. 【答