专练06（多选题-压轴）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练06（多选题-压轴）（30道） 1．（2021·江苏徐州市·高三月考）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是（ ） A．在是增函数 B．是奇函数 C．在上有两个极值点 D．设，则满足的正整数的最小值是 【答案】ABD 【分析】 利用函数单调性与导数的关系可判断A选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项的正误；验证、时，是否成立，由此可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，当时，，， ，所以，函数在是增函数，A选项正确； 对于B选项，令，该函数的定义域为， ， ， 则， 所以，函数为奇函数，B选项正确； 对于C选项，当时，，且， 所以，函数在内无极值点； ， ①当时，，，则， 则，，此时，， 所以，函数在上单调递减， ，， 所以，函数在上只有一个极值点； ②当时，，， 所以，，，则， 所以，，则， 所以，函数在上没有极值点. 综上所述，函数在上只有一个极值点，C选项错误； 对于D选项，. 当时，，，不成立； 当时，， 当时，，， ，，，则， 所以，， 所以，满足的正整数的最小值是，D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】 思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 2．（2021·江苏无锡市·高三月考）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ） A．对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 B．椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 C．椭圆上一点处的曲率半径的最小值为 D．对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而减小 【答案】AC 【分析】 利用曲率半径公式的定义，A中有圆上任一点；B、C中由椭圆在， 处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D中由公式得，构造，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项. 【详解】 A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上任一点曲率半径为，正确； B、C：由弯曲最大处为，最小处为，所以在处有， 在处有，即，故B错误，C正确； D：由题意，处的曲率半径，而， 所以，令， 则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误； 故选：AC. 【点睛】 关键点点睛：由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误. 3．（2021·江苏苏州市·高三月考）平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，，，则（ ） A．线段的长度为 B．异面直线、夹角的余弦值为 C．对角面的面积为 D．四棱柱的体积为 【答案】AD 【分析】 建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，由题意计算，从而得的坐标，从而利用向量的夹角公式以及面积、体积计算公式代入计算判断每个选项. 【详解】 由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，则，因为，所以，得，，得，所以，过作的垂线，所以，故A正确；所以，，则，，所以，故B错误；因为，，所以，即，所以，故C错误；，故D正确； 故选：AD 【点睛】 对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量或者直线的方向向量，利用向量的夹角公式求解. 4．（2021·江苏盐城市·高三二模）已知，设，其中则（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】 根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D． 【详解】 A． ，A正确； B．， 所以 （除非），B错； C．设是中最大项， ，即， 注意到，，又， 不等式组可解为，所以，所以，C正确； D．例如时，，， ，D错误． 故选：AC． 【点睛】 方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得． 5．（2021·江苏南通市·高三月考）若函数的值域为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】 利用分段函数定义确定函数的单调性，求出函数的值域，确定的取值范围，判断AB，再引入新函数判断与的大小，判断C，引入新函数，确定单调性后判断D． 【详解】 时，，，单调递增，∴，A正确； 时，，，单调递减， ∴， ∵值域是，∴，B正确； 设，则，当时，．单调递增， ∴，即，又，而在递减，∴，C正确； 设，则， 令，则在时恒成立，在上单调递增， 因此时，，，∴是减函数， 又，∴，即