专练03（单选题-压轴）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练03（单选题-压轴）（30道） 1．（2021·江苏省天一中学高三二模）已知双曲线的左､右顶点分别是，，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】 根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值， ， ， ， 当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值， 点的坐标为，代入，可得 ，即，即 ． 所以双曲线的渐近线方程为：． 故选：C 【点睛】 方法点睛：本题考查了求双曲线渐近线方程，及利用基本不等式求最值，解题时先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c及渐近线之间的关系，求出的值即可，考查学生的计算能力和转化化归能力，属于中档题 2．（2021·江苏高三专题练习）已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求. 【详解】 设，则， 从而，进而. 过作，则.如图： 在中，，； 在中，， 即，所以. 故选：A 【点睛】 （1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义； （2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于的齐次等式，再化为的等式可求； （3）此题的关键是作得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立的齐次等式. 3．（2021·江苏扬州市·高三月考）已知函数，若且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，计算出直线的倾斜角为，可得出，于是当直线与曲线相切时，取最大值，从而取到最大值. 【详解】 当时，， 求导，令，得 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 作分段函数图象如下所示： 设点的横坐标为，过点作轴的垂线交函数于另一点，设点的横坐标为，并过点作直线的平行线，设点到直线的距离为，， 由图形可知，当直线与曲线相切时，取最大值， 令，得，切点坐标为， 此时，， ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数零点差的最值问题，解题的关键将问题转化为两平行直线的距离，考查学生的化归与转化思想以及数形结合思想，属于难题. 4．（2021·江苏高三月考）已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 设和的夹角为，由已知条件可得出 或，由正弦定理可得外接圆的半径为，由此可以求出圆心到直线的距离为 ，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点，从而可以求出点的个数. 【详解】 因为直线上有两点，，且， 设和的夹角为，则，，， ，, 所以即转化为， 因为， 所以，解得：， 因为，所以或， 若，由正弦定理可得外接圆的半径为， 设外接圆的圆心为，则到直线的距离为 ， 所以圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，上，且到原点的距离为， 原点到直线的距离为 ， 所以直线上面不存在这样的点， 原点到直线的距离为 ， 所以直线上存在两个这样的点到原点的距离为， 一个点对应一个点，所以这样的点有2个， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是即转化为，利用数量积的定义求出和的夹角或， 弦长为定值，所对角为定值，所以有确定的外接圆，每一个外接圆对应一个点，利用弦心距、弦长的一半、半径满足勾股定理，求出圆心到直线的距离为，可以判断圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，利用圆心到两条平行线的距离与比较即可确定点的个数，进而得点的个数，属于难题. 5．（2021·江苏高三月考）已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一动点，关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，当最大时，则点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用椭圆的定义可得当三点共线时，最大且此时，计算出焦点三角形的面积后可求点到轴的距离. 【详解】 连接，则， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立. 如下图，当三点共线时，有， 故当三点共线时，有. 因为且， 故，所以， 解得， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：利用对