热点专题20 数列（压轴题热点2）-备战2021年高考数学二轮复习热点考题精华篇（上海专用）

热点专题20 数列（压轴题热点2） 一、解答题 1．（2020·上海普陀区·高三三模）已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，. （1）已知数列：，写出集合及； （2）求证：不存在， （3）求的最大值以及的最小值，并说明理由. 2．（2020·上海松江区·高三一模）对于由m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A､B，使得成立，则称集合M为“满集”， （1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； （2）若由小到大能排列成公差为d()的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是或2； （3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集” 3．（2020·上海青浦区·高三一模）若无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，则称数列与具有关系． （1）设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由； （2）设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值； （3）设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件． 4．（2020·上海高三其他模拟）对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“折叠数列”. （1）若，，判断数列，是否是“折叠数列”，如果是，指出的值；如果不是，请说明理由； （2）若，求所有的实数，使得数列是折叠数列； （3）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是折叠数列，且的各项中恰有个不同的值，证明你的结论. 5．（2020·上海长宁区·高三二模）若数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.已知数列为无穷数列. （1）若为等比数列，且，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； （2）若为等差数列，且公差，求证：数列不具有“性质”； （3）若等差数列具有“性质”，且，求数列的通项公式. 6．（2020·上海徐汇区·高三二模）设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”. （1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”； （2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由； （3）已知数列为“数列”，且 ，记，，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值. 7．（2020·上海高三专题练习）两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中. （1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由； （2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由； （3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由. 8．（2018·上海普陀区·曹杨二中高三三模）已知数列的通项公式为，其中且. （1）若是正项数列，求的取值范围； （2）若，数列满足，且对任意，均有，写出所有满足条件的的值； （3）若，数列满足，其前n项和为，且使的i和j至少4组，、、……、中至少有5个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求，满足的充要条件并加以证明. 9．（2016·上海黄浦区·高三二模（理））已知数列的通项公式为，其中，、. (1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数. (2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值. (3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值. 10．（2016·上海高三一模（理））设数列 的前项和为，对一切，点都在函数的图象上. （1）求，归纳数列的通项公式（不必证明）； （2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，，， ；，，，；，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值； （3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围. 11．（2017·上海闵行区·高三一模）在平面直角坐标系上，有一点列，设点的坐标（），其中． 记，，且满足（）． （1）已知点，点满足，求的坐标； （2）已知点，（），且（）是递增数列，点在直线：上，求； （3）若点的坐标为，，求的最大值． 12．（2017·上海嘉定区·高三二模）给定数列，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列. （1）已知数列、的通项公式分别为，