上海市实验学校2020-2021学年高二下学期期中数学试卷（word版含答案）

上海实验学校高二期中数学试卷 2021.04 一. 填空题 1. 若一个圆锥的底面面积为 ,母线长为 ,则它的侧面积为 2. “直线 垂直于平面 内的无数条直线”是“ ”的 条件 (填“充分非必要”或“必要非充分”或“充要”或“既非充分也非必要”) 3. 平面 与平面 垂直,平面 与平面 的法向量分别为 , , 则 的值为 4. 如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图, 、 、 为其上的三个顶点,则在正 方体盒子中, 大小为 5. 如图所示,水平放置的 的斜二测直观图是图中的 ,已知 , ,则 边的实际长度是 6. 若直线 ∥平面 ,直线 在平面 内,则直线 与 的位置关系为 7. 地球(地球半径为 )表面上从 地(北纬 ,东经 )到 地(北纬 ,东经 )的球面距离为 8. 已知三个球的半径 、 、 满足 ,则它们的表面积 、 、 满足的 等量关系是 9. 已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上, , 是边长为2的正三角形,点E、F分别是PA、AB的中点, ,则球 的体积为 10. 在三棱锥 中,已知 , , ,则 二. 选择题 11. 已知 、 是两条不同直线, 、 、 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A. 若 ∥ , ∥ ,则 ∥ B. 若 , ,则 ∥ C. 若 ∥ , ∥ ,则 ∥ D. 若 , ,则 ∥ 12. 以下说法正确的是( ) A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 13. 正方体 中, 为面 内的一动点,若点 到直线 与直线 的距离相等,则动点 的轨迹是( ) A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 椭圆的一部分 14. 如图, 为正方体,任作平面 与对 角线 垂直,使得 与正方体的每个面都有公共点,记 这样得到的截面多边形的面积为 ,周长为 ,则( ) A. 为定值, 不为定值 B. 不为定值, 为定值 C. 与 均为定值 D. 与 均不为定值 三. 解答题 15. 如图,正四棱柱 的底面边长为 , . (1)求该正四棱柱的表面积和体积; (2)求异面直线 与 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示). 16. 如图,四棱锥 的底面是正方形, ⊥平面 , ,点 是线段 上任意一点. (1)求证: ; (2)当 长为多少时, 与平面 所成角的大小为 . 17. 如图,在圆柱 中,它的轴截面 是一个边长为2的正方形,点 为棱 的中点,点 为弧 的中点. 求: (1)异面直线 所成角的大小; (2)直线 与圆柱 底面所成角的大小; (3)三棱锥 的体积. 18. 如图,在四棱锥 中,底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且 , , , ,E是BC的中点. (1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值; (2)求点D到平面PBG的距离; (3)若T点是侧棱PB上一动点,设CT与平面PBG所成的角为 ,求 的取值范围. 附加题: 19. 空间中有四个球,它们的半径分别是2、2、3、3,每个球都与其余三个球外切,另有一个小球与这四个球都外切,求这个小球的半径. 20. 某风景区有空中景点A及平坦的地面上景点B,已知AB与地面所成角的大小为 ,点A在地面上的射影为H,如图,请在地面上选定点M,使得 达到最大值. 上海实验学校高二期中数学试卷参考答案 2021.04 一. 填空题 1. 【答案】 2. 【答案】必要非充分 3. 【答案】 4. 【答案】 5. 【答案】 6. 【答案】 平行或异面 7. 【答案】 8. 【答案】 9. 【答案】 10. 【答案】 【解析】设 因为 所以 ,即 又因为 所以 ,即 所以 ,所以 二. 选择题 11. 【答案】D 12. 【答案】B 13. 【答案】C 14. 【答案】B 三. 解答题 15. 如图,正四棱柱 的底面边长为 , . (1)求该正四棱柱的表面积和体积; (2)求异面直线 与 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示). 【解析】 解:(1)由题意得 , 则该正四棱柱的表面积为 , 体积为 . (2)联结 ,则 ∥ , 所以直线 与 所成的角就是异面直线 与 所成的角. 在 中, , 由余弦定理得 EMBED Equation.3 , 则得 , 所以,异面直线 与 所成的角的大小 . 16. 如图,四棱锥 的底面是正方形, ⊥平面 , ,点 是线段 上任意一点. (1)求证: ; (2)当 长为多少时, 与平面 所成角的大小为 . 【解析】 (1)证明:联结 ,因为四边形 为正方形,所以, , 又因为 ⊥平面 , 平面 ,所以 . 由 EMBED Equations EMBED Eq