08 三角函数解析式中o的几种求法-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

三角函数解析式中ω的几种求法 ■杜海洋 纵观近几年的高考试题,涉及求三角函 数解析式中ω 的值或范围问题屡见不鲜,下 面探究几种常见的求法,供大家学习。 一、利用图像的平移问题 例1 将函数f(x)=sinωx(其中ω> 0)的图像向右平移 π 4 个单位长度,所得图像 经过点 3π 4 ,0( ),则ω 的最小值是 。 解:函数f(x)=sinωx(ω>0)的图像向 右平移 π 4 个单位长度,所得函数的解析式为 y=sinω x- π 4( )[ ]。因为此函数的图像经 过点 3π 4 ,0( ),所 以 ω 3π4- π 4( ) = ωπ 2 =kπ (k∈Z),即ω=2k(k∈Z)。又因为ω>0,所 以ω 的最小值是2。 评注:本题主要考查三角函数图像的平 移变换,考查正弦函数的图像与性质。 二、利用不等式的恒成立问题 例2 设函数f(x)=cosωx- π 6( )(ω> 0),若f(x)≤f π 4( ) 对任意的实数x 都成 立,则ω 的最小值为 。 解:因为f(x)≤f π 4( ) 对任意的实数x 都成立,所以f π 4( ) 是其最大值,所以 π 4ω- π 6=2kπ (k∈Z),可得ω=8k+ 2 3 (k∈Z)。 因为ω>0,所以当k=0时,ω 取最小值 为 2 3 。 评注:对于函数y=Acos(ωx+φ)+B (A>0,ω>0),由ωx+φ=kπ(k∈Z),可求 对称轴方程,最大值对应的自变量满足ωx+ φ=2kπ(k∈Z),最小值对应的自变量满足 ωx+φ=π+2kπ(k∈Z)。 三、利用两个交点的最短距离问题 例3 已知ω>0,在函数y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图像的交点中,距离最短的两 个交点的距离为23,则ω= 。 解:由y=2sinωx,y=2cosωx,可得 sinωx-cosωx=0,即 2sinωx- π 4( )=0, 解得x= kπ ω+ π 4ω ,k∈Z。取k=0,1,得到距离 最短的两个交点为 π 4ω ,2( ),5π4ω,-2( )。因 为两交点的距离为23,所以 π4ω- 5π 4ω( ) 2 + (2+ 2)2=(23)2,解得ω= π 2 。 评注:根据三角函数的对称性与奇偶性, 可知“距离最短的两个交点”一定在同一个周 期内。 函数f(x)=6cos2 ωx 2 + 3sinωx-3 图1 (ω>0)在一个周期内 的图像如图1所示,A 为图像的最高点,B、C 为图像与x 轴的交点, 且△ABC 为正三角形。 求ω 的值及函数f(x) 的值域。 提示:由f(x)=6cos2 ωx 2+ 3sinωx- 3=3cosωx+ 3sinωx=23sinωx+ π 3( ), 可知正三角形 ABC 的高为23,则|BC|= 4,所以函数f(x)的最小正周期T=4×2= 8,即 2π ω =8 ,可得ω= π 4 。由函数f(x)= 23sin π4x+ π 3( ),可知其值域为[-2 3, 23]。 作者单位:四川省成都经济技术开发区 实验中学校 (责任编辑 郭正华) 11 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $