13 小心三角函数中的“暗箭”-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■李亚青 三角函数问题看似简单,却“暗藏杀机”, 一不小心,就会“中弹身亡”。俗话说,明枪易 躲,暗箭难防。那么三角函数问题的“暗箭” 藏在何处呢? 一、“暗箭”藏在三角函数的定义域里 解决函数问题,定义域一定要优先考虑。 如果对三角函数的定义域熟视无睹,那么错 解一定会“盯上”同学们。 例1 求 函 数 y=sin2x+acosx+ 5 8a- 3 2 0≤x≤ π 2( ) 的最大值。 错解:易得函数y=- cosx- a 2( ) 2 + a2 4+ 5 8a- 1 2 ,所以当cosx= a 2 时,ymax= a2 4+ 5 8a- 1 2 。 剖析:上述解法忽视了函数的定义域。 正解:由0≤x≤ π 2 ,可得0≤cosx≤1。 易得函数y=- cosx- a 2( ) 2 + a2 4+ 5 8a- 1 2 。当0≤a≤2,cosx= a 2 时,可得ymax= a2 4+ 5 8a- 1 2 ;当a<0,cosx=0时,可得 ymax= 5 8a- 1 2 ;当a>2,cosx=1时,可得 ymax= 13 8a- 3 2 。 二、“暗箭”藏在三角函数的有界性里 在 求 三 角 函 数 的 值 时,通 常 隐 含 着 sinx ≤1,cosx ≤1,0≤sin2x≤1,0≤ cos2x≤1这些信息,如果解题时不加注意,就 会容易出错。 例2 若关于x 的方程2cos2(π+x)- sinx+a=0有实根,求实数a的取值范围。 错解:原方程可化为2-2sin2x-sinx+ a=0。令sinx=t,则 a=2t2+t-2= 2t+ 1 4( ) 2 - 17 8≥- 17 8 ,所以实数a的取值范 围是 - 17 8 ,+∞[ )。 剖析:利用换元法解题时,必须注意换元 后自变量的取值范围。令sinx=t,则t的取 值范围取决于sinx 的值域,即t∈[-1,1], 而不是t∈R。 正解:原方程可化为2-2sin2x-sinx+ a=0。令sinx=t,-1≤t≤1,则a=2t2+ t-2=2t+ 1 4( ) 2 - 17 8 ,所以当t=- 1 4 时, amin=- 17 8 ;当t=1时,amax=1。 故实数a的取值范围是 - 17 8 ,1[ ]。 三、“暗箭”藏在复合函数的性质里 当给出的三角函数是复合函数时,必须 注意内层函数的单调性。 例3 求函数y=2sin π 4-2x( ) 的单调 递增区间。 错解:令u= π 4-2x ,则y=2sinu 在 2kπ- π 2 ,2kπ+ π 2[ ](k∈Z)上是增函数,即 2kπ- π 2≤ π 4-2x≤2kπ+ π 2 (k∈Z),解得 kπ- π 8≤x≤kπ+ 3π 8 (k∈Z),所以此函数的 单调递增区间是 kπ- π 8 ,kπ+ 3π 8[ ](k∈Z)。 剖析:由u= π 4-2x 是减函数,可知上 述解法忽视了复合函数的单调性。 正解:由u= π 4-2x 是减函数,y=2sinu 在 2kπ+ π 2 ,2kπ+ 3π 2[ ](k∈Z)上是减函数,可 得2kπ+ π 2≤ π 4-2x≤2kπ+ 3π 2 ,所以此函数的 单调递增区间是 kπ- 5π 8 ,kπ+ π 8[ ](k∈Z)。 作者单位:广东省佛山市第三中学 (责任编辑 郭正华) 22 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2021年4月 $