专题07 复数（知识梳理）-2020-2021学年高二数学（文）单元复习（人教A版选修1-2）

专题07 复数（知识梳理） 一、复数的概念 1、虚数单位 ： (1)它的平方等于 ，即 ； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； (3) 与 的关系： 就是 的一个平方根，即方程 的一个根，方程 的另一个根是 ； (4) 的周期性： 、 、 、 。 2、数系的扩充：复数 。 3、复数的定义：形如 ( )的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 表示。 4、复数的代数形式： 通常用字母 表示，即 ( )，把复数表示成 的形式，叫做复数的代数形式。 5、复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系：对于复数 ( )， 当且仅当 时，复数 ( )是实数 ， 当 时，复数 叫做虚数， 当 且 时， 叫做纯虚数， 当且仅当 时， 就是实数 。 6、复数集与其它数集之间的关系： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 7、两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。 这就是说，如果 、 、 、 ，那么 、 。 例1-1．设 为虚数单位，则下列命题成立的是( )。 A、 ，复数 是纯虚数 B、在复平面内 对应的点位于第三象限 C、若复数 ，则存在复数 ，使得 D、 ，方程 无解 【答案】C 【解析】A选项，只有当 时，复数 是纯虚数，错， B选项， ，对应的点位于第一象限，错， C选项，若复数 ，则存在复数 ，使得 ，对， D选项， ，方程 成立，错，∴C正确。 例1-2．若复数 ( 为虚数单位)，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】 ，∴ ，故选A。 例1-3．已知 ， 为虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为 。 【答案】 【解析】由题意得 ，∵ 为纯虚数，∴ ，解得 。 二、复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 复数 ( )与有序实数对 是一一对应关系。 建立一一对应的关系。点 的横坐标是 ，纵坐标是 ，复数 ( )可用点 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数。 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 ，它所确定的复数是 表示是实数。 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数 复平面内的点 。 这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 3、复数的模：复数 ( )的模就是其在复平面内的点 到原点 的距离。 。 4、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 复数 ( )的共轭复数为 ( )。 虚部不等于 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 例2-1．复数 在复平面内对应的点位于( )。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】B 【解析】 ，在复平面对应的点的坐标为 ，位于第二象限，故选B。 例2-2．设复数 满足 ，则复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于( )。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】A 【解析】由 得 ，∴ ， ∴ 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限，故选A。 例2-3．设复数 ( 是虚数单位)，则在复平面内，复数 对应的点的坐标为( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵ ，∴ ，∴复数 对应的点为 ，故选B。 三、复数的四则运算 设 、 ( 、 、 、 )是任意两个复数： 1、复数 与 的和的定义： 。 (1)复数的加法运算满足交换律： 。 (2)复数的加法运算满足结合律： 。 2、复数 与 的差的定义： 。 3、乘法运算规则： ， 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成 ，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 乘法运算律： (1) ； (2) 。 4、复数除法的定义： 满足 的复数 ( )叫复数 除以复数 的商， 记为： 或者 。 (1)除法运算规则：设复数 ( )，除以 ( 、 )，其商为 ( )， 即 ，∵ ， ∴ ， 由复数相等定义可知 ，解这个方程组，得 ， 于是有： ； (2)利用 于是将 的分母有理化得： 原式 ， ∴ ； 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 与复数 ，相当于我们初中学习的 的对偶式 ，它们之积为 是有理数，而 是正实数。所以可以分母实数化。