专题05 推理与证明（同步练习）-2020-2021学年高二数学（文）单元复习（人教A版选修1-2）

专题05 推理与证明（同步练习） 一、推理 （一）归纳推理 例1-1．观察下列等式： …… 照此规律，第 个等式可为 。 【答案】 【解析】第 个等式为 。 例1-2．二维空间中，圆的一维测度(周长) ，二维测度(面积) ；三维空间中，球的二维测度(表面积) ，三维测度(体积) ；类比推理，若四维空间中，“超球”的四维测度 ，猜想其三维测度 _______。 【答案】 【解析】根据类比推理可知三维测度 是四维测度 的导数， ，故填 。 总结：(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果； (2)类比是一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性； (3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现功能； (4)类比推理的关键是找到合适的类比对象。如平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到空间立体几何中，得到类似结论。一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下： （二）归纳推理 例2-1．观察下列数据： 请你归纳 、 、 之间关系是__________。 【答案】 【解析】经观察可推测 、 、 之间关系是 。 例2-2．观察下列等式： …… 由以上各式推测第 个等式为______________。 【答案】 【解析】经观察可推测第 个等式为 。 例2-3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。 (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 【解析】(1)选择②式，计算如下： ； (2)三角恒等式为 ， 证明如下： 。 三、演绎推理 例3-1．已知 ，由不等式 ， ，……，我们可以得出推广结论： ( )，则 ( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】当 时，A选项不符合，当 时，C选项不符合， 当 时， ，B选项不符合， 故选D。 例3-2．设 是至少含有两个元素的集合，在 上定义了一个二元运算“ ”(即对任意的 ，对于有序元素对 ，在 中有唯一确定的元素 与之对应)。若对任意的 ，有 ，则下列等式中不恒成立的是( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】抓住本题的本质 此式恒成立， 、 只要为 中元素即可( )， B中由已知即为 符合已知条件形式， C中取 即可， D中 相当于已知中的 ，也正确， 只有A不正确，故选A。 例3-3．已知函数 有如下性质：如果常数 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数。 (1)如果函数 ( )的值域为 ，求 的值； (2)研究函数 (常数 )在定义域内的单调性，并说明理由。 【解析】(1)用三段论方式进行说明。 ∵ 有如下性质：如果常数 ， 那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数， 又 ( )中 为常数， ∴ 是 ( )型函数， ∴ 在 上是减函数，在 上是增函数， ∴当 时， 取最小值，又 的值域为 ， ∴ ，即 ，∴ 。 (2)设 ，则 且 ，有 ，故 为偶函数， 先研究 时的单调性，然后根据偶函数的性质求 时的单调性， 当 时，令 ，则 ( )， 则 在 上是减函数，在 上是增函数， ∴ ( ， )，在 上是减函数，在 上是增函数， 根据偶函数性质，得 在 上是减函数，在 上是增函数。 总结：演绎推理是一种必然性推理。演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论。 (1)本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力。需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题。 (2)信息迁移题也称信息给予题，构成形式是设计一个陌生的数学情境，要求学生在阅读理解的基础上运用所学知识和方法灵活地进行迁移，进而解决问题的题型。由于信息迁移题能有效地考查学生的自学水平和思维能力，因而一直受到广大学生、中学老师的重视，全国各地的高考题中，涌现出一批信息迁移试题，预计下一步会加强对学生迁移能力的考查，并且有可能与其他知识联系，综合考查。 二、证明 （一）用综合法证明问题 例4-1．设 、 、 为任意三角形三边长， ， ，证明 。 【解析】证明：由 ， ∵ 、 、 为任意三角形三边长， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， 即 ， ∴ ， ∴ ，∴ ，即 。 总结：(1)本题考查三角形中不等式关系的综合应用。 综合法的思维特点是：由已知推出结论、另外，用综合法证明不等式中常用的重要不等式有： ； ( )； ( )； ( 、 同号)等。 (2)由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用