必刷题03 外接球内切球-【新高考】2021年高考数学考前复习新题必刷

必刷题03 外接球、内切球 1．将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接、，如下图所示： 由题意， 因为，为的中点，所以，， 所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A. 2．已知一个圆锥的底面半径为，高为，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设球的半径为，圆锥的体积为， 由于球的体积大小等于某球的表面积大小，则，， 因此，该球的体积为.故选：D. 3．已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设球的半径为，由球体的体积公式有，得. 设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则，圆柱的高为， 圆柱的侧面积为， 当且仅当时，时，圆柱的侧面积最大， 圆柱的侧面积的最大值为．故选：B． 4．蹴鞠（如图所示），2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 在中，因为，， 所以，即， 在中，， 所以，即是等腰三角形， 过点P作，则BD=AD=, 因为， 所以，， 又球心在上，故PC为球O的直径， 所以，， 即，解得， 所以该球的表面积是. 故选：C． 5．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，三棱锥的底面的面积为定值，当平面平面时，此时点到底面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值， 因为四边形为菱形，且，连接交与点， 可得，所以为的外心， 过点作平面的垂线，可得上点到三点的距离相等， 设存在点点，使得，即点为三棱锥的外接球的球心， 设，可得， 即，解得， 所以外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 6．将半径为，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,则， , 设内切球的半径为R，则, , ,故选A. 7．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为，则球的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，所以圆柱的侧面积为，所以， 所以球的体积为，故选：B. 8．由正三棱锥截得的三棱台的高为，，．若三棱台的各顶点都在球的球面上，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】如图所示： 设三棱台的上底面的外接圆的圆心为， 下底面的外接圆的圆心为，则，为所在正三角形的中心， 故三棱台的外接球的球心在上， 因为是边长为6的等边三角形，故， 同理可得， 设三棱台的外接球的半径为， 在中，， 在中，， 又三棱台的高为， 因为，所以， 故球心在的延长线上， 则， 解得， 所以球的表面积为． 故答案为：． 9．在四棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】如图所示，取的中点，连接，，并连接交于， 连接.因为，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，故， 所以为外接圆的圆心且， 则，，， 因为，所以，所以． 因为，，所以，所以， 因为，所以平面 设三棱锥外接球的球心为，连接，，， 则平面，则.过点作于点，则， 故四边形为矩形，故，. 设，外接球的半径为，则， 又，则，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 10．在体积为的三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】如图，由题意得，与为全等的等腰直角三角形，故的中点为三棱锥外接球的球心．设，又，，平面，故平面， 设等腰三角形底边上的高为，则 ，所以 ，解得，故三棱锥外接球的表面积为． 故答案为： 11．四面体的顶点、、、在同个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 可将三棱锥放在圆柱内 ，使得圆为的外接圆，点在圆上， 由余弦定理可得，则， 所以，的外接圆直径为，, 平面，所以，四面体的外接球半径为， 因此，四面体的外接球的表面积为.