第一讲 坐标系 本讲整合提升1-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

本讲介绍了平面直角坐标系的建立及平面直角坐标系中的伸缩变换，重点介绍了极坐标系的建立，极坐标和直角坐标的互化以及简单曲线极坐标方程的建立及其简单的应用，最后又简单介绍了柱坐标系和球坐标系，以及它们和空间直角坐标系的联系． 一、平面直角坐标系 1．利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)． 2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单． 二、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ： 的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换． 三、极坐标系 极坐标系是平面上经常使用的又一坐标形式，建立极坐标系要选取一个合适点为极点，找出极轴，再选定一个长度单位，一个角度单位及其正方向． 1．点的极坐标的建立 M点到极点的距离为它的极径ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM即为极角θ. 极径和极角确定，则点的极坐标确定，即为(ρ，θ)． 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点，原点O的坐标(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示． 若ρ<0，则－ρ>0，我们规定M(ρ，θ)与(－ρ，θ)关于极点对称，因此(－ρ，θ)和(ρ，π＋θ)表示同一点． 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)． 2．知道点的极坐标确定点的位置 先确定点在哪一个圆上，即利用极径表示的是点到极点的距离；再确定点的具体位置，即利用极角表示的终边所在射线．射线和圆的交点，即为该点的位置． 3．极坐标和直角坐标的互化 互化的前提条件必须两种坐标系有如下对应关系： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系下取相同的单位． 互化公式为 还要根据点(x，y)所在的象限，确定一个适合的角度． 4．简单曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F(ρ，θ)＝0. 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程． 例如：对极坐标方程ρ＝θ，点M，可以表示为或等多种形式，其中只有的形式满足方程． 对于曲线的极坐标方程，F(ρ，θ)＝0 若F(ρ，θ)＝F(ρ，－θ)，则相应图形关于极轴对称； 若F(ρ，θ)＝F(ρ，π－θ)，则图形关于θ＝所在直线对称； 若F(ρ，θ)＝F(ρ，π－θ)，则图形关于极点O对称． (1)圆的极坐标方程 ①半径为r的圆的圆心坐标为(r,0)(r＞0)的极坐标方程为ρ＝2rcos θ. ②圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r. ③圆心在过极点且垂直极轴的直线上，且过极点的圆(半径为r)的圆的极坐标方程ρ＝2rsin θ. ④已知圆心在(ρ1，θ1)，半径为r，此圆的极坐标方程为ρ2－2ρ1·ρcos(θ－θ1)＋(ρ12－r2)＝0. (2)直线的极坐标方程 ①直线的一般方程为ρcos(θ－α)＝a，其中a为极点O到直线l的距离，α为极轴Ox与ON之间的夹角． 如图所示 ②直线l与极轴垂直时，其方程为ρcos θ=a. 如图所示 ③直线l与极轴平行时，其方程为ρsin θ=a 如图所示 ④直线l过极点时，其方程为θ=α(ρ∈R) 如图所示 ⑤射线方程为θ=α(ρ≥0)[来源:Zxxk.Com] 如图所示 ⑥直线l过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则l的极坐标方程为ρsin(α-θ)=ρ1sin(α-θ1) 如图所示 5．球坐标系和柱坐标系 (1)柱坐标系 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy的平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞. 空间中点P的直角坐标系与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 (2)球坐标系 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，记|OP|=r，OP与Oz轴正向所夹