第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

四　柱坐标系与球坐标系简介 目标 定位 1.了解柱坐标系与球坐标系刻画空间中点的位置的方法． 2.体会与空间直角坐标系中刻画点的位置的区别． 3.了解柱坐标与球坐标在日常生活中的应用. 1．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用________表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用________表示，这样我们建立了空间的点与________之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，________叫做P的柱坐标，空间点P的直角坐标与柱坐标之间的变换公式为________． 2．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连结OP.记|OP|＝r.________为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q.________为θ.这样P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π；球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的________，90°－φ称为________；空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为________． 自我校对　1.(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)　有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)　有序数组(ρ，θ，z)　(ρ，θ，z)　 2．OP与Oz轴正向所夹的角　Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角　方位角　高低角　 1．设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数ρ、θ、z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数．由此可见，柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．因此，由平面上极坐标和直角坐标的变换公式容易得到空间直角坐标与柱坐标的变换公式 直角坐标与球坐标的变换公式是 2．至此，我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等知识．可以看到，坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题. 题型一　直角坐标与柱坐标间的变换 　设点M的直角坐标为(1，，4)，求它的柱坐标． 思路点拨　解答本题直接利用公式计算即可． 【解析】　由变换公式 得ρ2＝x2＋y2＝12＋()2＝4，ρ＝2 tan θ＝＝，θ＝(点M在第1卦限)， 因此点M的柱坐标为. 【方法技巧】 知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ.尤其是θ，要注意求出tan θ，还要根据点M所在的卦限确定θ的取值．(θ的范围为θ∈[0,2π)) 1．已知点M的柱坐标为，求它的直角坐标．[来源:学科网ZXXK] 解析　根据直角坐标与柱坐标的变换公式得 x＝ρcos θ＝4·cos＝4·＝2 y＝ρsin θ＝4·sin＝4·＝2，z＝z＝8 ∴点M的直角坐标为(2,2，8)． 答案　(2,2，8) 题型二　球坐标与直角坐标间的变换 　已知点M的直角坐标为(－1，－1，)，求它的球坐标． 思路点拨　解答本题直接利用公式 计算即可． 【解析】　由坐标变换公式 由：r·cos φ＝z＝，得：cos φ＝＝，∴φ＝. 又tan θ＝＝1，∴θ＝π(M在第3卦限)， 从而知M点的球坐标为. 【方法技巧】 知直角坐标确定球坐标，关键是确定出r，与z轴正方向的夹角及点M在平面xOy上的射影点的极角，要注意θ和φ的取值范围． 2．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标． 解析　根据坐标变换公式得 ∴它的直角坐标为(2,2，－2) 答案　(2,2，－2) 题型三　柱坐标系、球坐标系的应用 　一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为200 m，每相邻两排的间距为1 m，每层看台的高度为0.7 m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来． 思路点拨　建立柱坐标系，然后逐个求出位置A的柱坐标的各个分量即可． 【解析】　以圆形体育馆的圆心为极点，第一区与第十六区的分界线为极轴．建立柱坐标系，在这个坐标系中易得A. 【方法技巧】 找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度． 3．经过若干个固定和流动的地面