第一讲 三 第一课时 圆的极坐标方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

三　简单曲线的极坐标方程 第一课时　圆的极坐标方程 目标 定位 1.熟练掌握圆的极坐标方程的求法，并能够利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式进行互化． 2.通过比较，体会极坐标在解决个别问题中的优越性，提高分析问题、解决问题的灵活性. 1．在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系： (1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 2．一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上________________，并且__________________，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 3．圆心在(a,0)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为________． 自我校对　1.(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解　(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 2．任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0 坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上 3．ρ＝2acos θ 1．圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.[来源:Z§xx§k.Com] 2．圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ. 3．圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ，0≤θ≤π. 注：当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式． 题型一　求圆的极坐标方程 　在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的方程． 思路点拨　先设圆上任意一点P(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简即可． 【解析】　在圆上任取一点P(ρ，θ)， 那么，在△AOP中，|OA|＝8，|AP|＝5， ∠AOP＝－θ或. 由余弦定理得cos ＝， 即ρ2－16ρcos ＋39＝0为所求圆的极坐标方程． 【方法技巧】 求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： ①建立适当的极坐标系(本题无需作)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程． 通常第⑤步不必写出，只要对特殊的点的坐标加以检验即可． 1．在极坐标系中，求半径为r，圆心为C的圆的极坐标方程． 解析　由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|=2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中， |OM|=|OA|cos ∠AOM， ∴ρ=-2rsin θ， 所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-2rsin θ. 题型二　极坐标方程与直角坐标方程的互化 　⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 思路点拨　解答本题先利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入曲线的极坐标方程，再化简即可． 【解析】　(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x. 即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程． 同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程． 即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x. 解法二　①－②得－4x－4y＝0 即x＋y＝0为过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 【方法技巧】 化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0的过程，本质是实数方程向距离与三角的制约方程的转化过程，其中，体现了思维方向的发散性特征，化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0. 2．(1)写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程； (2)写出圆心在点(－1,1)处且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程． 解析　(1)如下图，直接得极坐标方程 ρ＝4sin θ，0≤θ≤π， 变形为ρ2=4ρsin θ. 用坐标变换公式得x2+y2=4y， 即x2+(y-2)2=4. (2)如图所示，圆的半径为 圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=2， 变形为x2+y2=-2(x-y)． 用坐标变换公式得 ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)， 即ρ＝2(sin θ－cos θ)