第一讲 三 第二课时 直线的极坐标方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第二课时　直线的极坐标方程

1．直线l经过极点，从极轴到直线l的角为，则直线l的极坐标方程为_____________________________________________________________________．

2．过点A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为________．

3．直线l过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l的极坐标方程为________．

自我校对　1.θ＝和θ＝π　2.ρcos θ＝a　3.ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)

可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简．而且，与求曲线的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，曲线上点的坐标ρ，θ所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接.

题型一　极坐标方程与直角坐标方程的互化

　将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．

(1)ρsin θ＝1；[来源:Zxxk.Com]

(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0；

(3)ρ＝－2cos θ；

(4)ρ＝cos θ－2sin θ.

思路点拨　先利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程，然后根据曲线的直角坐标方程，判断曲线的形状与性质．

【解析】　利用极坐标和直角坐标互化公式求解：

ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.

(1)ρsin θ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．

(2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0

∴x＋y－4＝0　表示的是一条直线．

(3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得

ρ2＝－2ρcos θ，

∴x2＋y2＋2x＝0即(x＋1)2＋y2＝1.

表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．

(4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得

ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.

∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0，

即2＋(y＋1)2＝2，

表示的是以为圆心半径为的圆．

【方法技巧】

将极坐标方程化为ρcos θ、ρsin θ和ρ2形式，为了方便，有时两边要同乘以ρ.

1．化下列直角坐标方程为极坐标方程：

(1)y＝－x；

解析　将互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可得解．

(1)将互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝－x得

ρsin θ＝－ρcos θ即ρ(sin θ＋cos θ)＝0

当sin θ＋cos θ＝0时，有tan θ＝－，∴θ＝π.

∴所求的极坐标方程为θ＝π.(ρ∈R)

(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入椭圆方程得

答案　(1)θ＝π(ρ∈R)　

题型二　射线或直线的极坐标方程

　求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程．

思路点拨　先设直线上任意一点M(ρ，θ)，根据正弦定理或互化公式建立关于ρ，θ的方程，再化简即可．

【解析】　解法一　设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点，

在△OAM中，由正弦定理得

化简得ρ(cos θ-sin θ)=1，

经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，

所以满足条件的直线的极坐标方程为

ρ(cos θ-sin θ)=1，

解法二　以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率直线方程为y=x-1，

将y=ρsin θ，x=ρcos θ代入上式，得

ρsin θ=ρcos θ-1，

∴ρ(cos θ-sin θ)=1，

【方法技巧】

解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．

2．(1)若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？

(2)若本例中直线过点A(1,0)不变，直线的倾斜角变为，如何求直线的极坐标方程？

解析　(1)由前述可知，以点A(1,0)为端点且在极轴上方的射线OM的极坐标方程为[来源:学|科|网]