第一讲 三 第二课时 直线的极坐标方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第二课时　直线的极坐标方程 目标 定位 1.熟练掌握直线的极坐标方程的求法，并能够进行极坐标方程与直角坐标方程的互化． 2.通过比较，体会极坐标在解决个别问题中的优越性，提高分析问题、解决问题的灵活性. 1．直线l经过极点，从极轴到直线l的角为，则直线l的极坐标方程为_____________________________________________________________________． 2．过点A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为________． 3．直线l过点P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为α，则直线l的极坐标方程为________． 自我校对　1.θ＝和θ＝π　2.ρcos θ＝a　3.ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1) 可以看到，在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行化简．而且，与求曲线的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程更加简便，因为在极坐标系下，曲线上点的坐标ρ，θ所满足的条件更容易表示，代数变换也更加直接. 题型一　极坐标方程与直角坐标方程的互化 　将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线． (1)ρsin θ＝1；[来源:Zxxk.Com] (2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0； (3)ρ＝－2cos θ； (4)ρ＝cos θ－2sin θ. 思路点拨　先利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程，然后根据曲线的直角坐标方程，判断曲线的形状与性质． 【解析】　利用极坐标和直角坐标互化公式求解： ρcos θ＝x，ρsin θ＝y. (1)ρsin θ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线． (2)ρ(cos θ＋sin θ)－4＝0⇒ρcos θ＋ρsin θ－4＝0 ∴x＋y－4＝0　表示的是一条直线． (3)ρ＝－2cos θ两边同乘以ρ得 ρ2＝－2ρcos θ， ∴x2＋y2＋2x＝0即(x＋1)2＋y2＝1. 表示的是以(－1,0)为圆心，以1为半径的圆． (4)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ. ∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0， 即2＋(y＋1)2＝2， 表示的是以为圆心半径为的圆． 【方法技巧】 将极坐标方程化为ρcos θ、ρsin θ和ρ2形式，为了方便，有时两边要同乘以ρ. 1．化下列直角坐标方程为极坐标方程： (1)y＝－x； 解析　将互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可得解． (1)将互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝－x得 ρsin θ＝－ρcos θ即ρ(sin θ＋cos θ)＝0 当sin θ＋cos θ＝0时，有tan θ＝－，∴θ＝π. ∴所求的极坐标方程为θ＝π.(ρ∈R) (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入椭圆方程得 答案　(1)θ＝π(ρ∈R)　 题型二　射线或直线的极坐标方程 　求过点A(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程． 思路点拨　先设直线上任意一点M(ρ，θ)，根据正弦定理或互化公式建立关于ρ，θ的方程，再化简即可． 【解析】　解法一　设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点， 在△OAM中，由正弦定理得 化简得ρ(cos θ-sin θ)=1， 经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程， 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ-sin θ)=1， 解法二　以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy，直线的斜率直线方程为y=x-1， 将y=ρsin θ，x=ρcos θ代入上式，得 ρsin θ=ρcos θ-1， ∴ρ(cos θ-sin θ)=1， 【方法技巧】 解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；解法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程． 2．(1)若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？ (2)若本例中直线过点A(1,0)不变，直线的倾斜角变为，如何求直线的极坐标方程？ 解析　(1)由前述可知，以点A(1,0)为端点且在极轴上方的射线OM的极坐标方程为[来源:学|科|网] ρ(cos θ－sin θ)＝1. (2)过点A(1,0)，倾斜角为的直线的直角坐标方程为 y＝－(x－1)，即y＝1－x， 将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式得ρsin θ＝1－ρcos θ， ∴ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 题型三　直线与圆的极坐标方程的应用 　求两个圆ρ＝4cos θ，ρ＝