第一讲 二 第一课时 极坐标系的概念-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

二　极坐标系 第一课时　极坐标系的概念 目标 定位 1.了解极坐标的概念． 2.学会用极坐标表示平面上的点. 1．在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线OX，叫做________；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个________． 2．设M是平面内的一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________，记为________；以极轴OX为始边，射线OM为终边的角XOM叫做点M的______，记为______．有序数对(ρ，θ)叫做点M的______，记作______． 3．一般地，极坐标________与________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为________和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示． 4．如果规定________，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的． 自我校对　1.极点　极轴　极坐标系 2．极径　ρ　极角　θ　极坐标　(ρ，θ) 3．(ρ，θ)　(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)　(0，θ)(θ∈R)　无数种 4．ρ>0,0≤θ<2π　惟一确定 1．理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义是关键． 2．正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解. 题型一　由极坐标系写出各点极坐标 　已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标． 思路点拨　先建立适当的极坐标系，然后求出各点的极经与极角，写出极坐标． 【解析】　以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C(a,0)，D，E，F(a，π)，A，B或C(a,0)，D，E，F，A，B. 【方法技巧】 在极坐标系下写出各点的极坐标，关键是由几何图形的性质确定该点的极径和极角．注意点的极坐标形式并不惟一． 1．边长为a的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，求正六边形各顶点坐标． 答案　(0,0)、(a,0)、、、、或(0,0)、(a,0)、、、、. 题型二　写出点P(ρ，θ)满足一定条件的坐标 　已知点A的极坐标是，写出符合下列条件的点A的极坐标： (1)ρ>0，－2π<θ<0；(2)ρ<0,2π<θ<4π. 思路点拨　先把点A的坐标写成一般形式，然后列出不等式，得出满足条件的A的极坐标． 【解析】　(1)当ρ>0时，点A的极坐标的一般形式为(k∈Z) 令－2π<＋2kπ<0，解得k＝－1 ∴θ＝－2π＝－π，点A的坐标为. (2)当ρ<0时，点A的极坐标的一般形式可表示为(k∈Z) 令2π<＋(2k＋1)π<4π 解得k＝1，所以θ＝＋3π＝π，于是A点的坐标为. 【方法技巧】 一般地，为了求出点P(ρ，θ)满足一定条件的坐标，可先写出它的极坐标的一般形式：(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到要求的坐标． 2．已知点M的极坐标为，试分别写出符合下列条件之一的M的极坐标． (1)ρ<0，θ∈[0,2π)； (2)ρ>0，θ∈(－2π，0]； (3)ρ<0，θ∈(－π，π)． 解析　当ρ>0时，极角为2kπ＋① 当ρ<0时，极角为(2k＋1)π＋，② (1)在②中令k＝0可得：M (2)在①中令k＝－1得：M (3)在②中令k＝－1得：M. 题型三　求对称点的极坐标 　设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 思路点拨　求对称点的极坐标，对称点的极径并不改变，关键是根据几何图形求出对称点的极角． 【解析】　如图所示，关于极轴的对称点为B； 关于直线l的对称点为C； 关于极点O的对称点为D. 【方法技巧】 点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，关于直线l的对称点是(ρ，π－θ)，关于极点O的对称点是(ρ，π＋θ)． 3．点M的极坐标是，它关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的坐标是 A.　　　　　B. C. D. 答案　 B 1．极坐标系中，点P到极轴的距离为 A．1　　　　　　　 B. C. D．2 答案　D 2．点M(1,0)关于极点的对称点为 A．(1,0) B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π)[来源:Z|xx|k.Com] 答案　C 3．点M(ρ≥0)的轨迹是 A．点 B．射线 C．直线 D．圆 解析　由于动点M的极角θ＝，ρ取一切非负实数，故点M的轨迹是极角为的终边，是一条射线，故