第二讲 一 第三课时 参数方程和普通方程的互化-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第三课时　参数方程和普通方程的互化 目标 定位 1.掌握参数方程和普通方程的互化关系． 2.注意互化的等价性. 1．将曲线的参数方程化为普通方程， 有利于_______________________． 2．在参数方程与普通方程的互化中，必须使__________________保持一致． 自我校对　1.识别曲线的类型　2.x、y的取值范围 1．参数方程与普通方程最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系． 2．化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法． 3．化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标). 题型一　将参数方程化为普通方程 　将下列参数方程化成普通方程． 思路点拨　由题意可知： ①已知曲线的参数方程； ②要求把参数方程化为曲线的普通方程． 因此，解答本题只要消去参数，建立关于x、y的二元方程即可． 【解析】　(1)由x＝得t＝， (2)由x－2y＝t－1得t＝x－2y＋1， 代入y＝t2－t－1化简得 x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0. (3)以y＝asec θ代入x＝a(tan θ＋sec θ)得 x－y＝atan θ，(x－y)2＝a2tan2θ， 由题设得y2＝a2sec2θ，因而x2－2xy＋a2＝0. (4)将y＝－pt的两边平方得 【方法技巧】 消去参数的方法一般有三种： ①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 1．将参数方程(α为参数)化为普通方程． 解析　y2＝(cos α－sin α)2＝1－2sin α·cos α ＝1－sin2α＝1－2x ∴普通方程为y2＝－2，x∈. 答案　y2＝－2　x∈ 题型二　将普通方程化为参数方程 　求方程4x2＋y2＝16的参数方程： (1)设y＝4sin θ，θ为参数； (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数． 思路点拨　(1)可以直接把y＝4sin θ代入已知方程，解方程求出x即可；(2)可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解． 【解析】　(1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16， 于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2 θ， ∴x＝±2cos θ. 由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ， 因此4x2＋y2＝16的参数方程是(θ为参数)． (2)设M(x，y)是方程4x2＋y2＝16上异于A的任一点， 则＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得 x[(4＋k2)x＋8k]＝0. 【方法技巧】 (1)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实际意义，也可没有具体意义． (2)将普通方程化为参数方程的一般方法． 2．以过原点的直线倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－2x＝0的参数方程是 A.　 B. 解析　把y＝tan θx代入圆方程得： x2＋x2tan2θ－2x＝0， x2·(1＋tan2θ)＝2x， x＝2cos2 θ， ∴y＝tan θx＝2sin θcos θ＝sin 2θ 答案　C 题型三　综合应用 　已知方程y2－6ysin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0，(0≤θ<2π)． (1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线； (2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长． 思路点拨　将方程整理成一端含y，一端含x的形式可知，方程为抛物线．根据整理后的抛物线方程得出顶点、弦长．关于参数θ的方程可解． 【解析】　(1)证明　将方程 y2－6ysin θ－2x－9cos2 θ＋8cos θ＋9＝0 可配方为(y－3sin θ)2＝2(x－4cos θ)， ∴图象为抛物线． 设其顶点为(x，y)， 则有 消去θ得顶点轨迹是椭圆 消去x，得 y2－6ysin θ＋9sin2θ＋8cos θ－28＝0， 弦长|AB|＝|y1－y2|＝4， 当cos θ＝－1即θ＝π时，弦长最大为12. 【方法技巧