第二讲 一 第二课时 圆的参数方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第二课时　圆的参数方程 目标 定位 1.掌握圆的参数方程及其推导过程． 2.理解圆的参数方程中参数的意义． 3.能利用圆的参数方程解决一些简单实际问题. 1．圆x2＋y2＝r2的参数方程为_________________________________________________，其中参数的几何意义为_____________________________________________________． 2．圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_____________________________. 3．建立圆的参数方程时，要注明______及______． 自我校对　1.(θ为参数)　相应的圆心角 2.(θ为参数)　3.参数　参数的取值范围 由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式．形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外，在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围. 题型一　求圆的参数方程 　已知C(r,0)(r＞0)，动点M满足|MC|＝r，根据下列选参数的方法，分别求动点M的轨迹方程．[来源:学*科*网Z*X*X*K] (1)以x轴正方向到CM所成角θ为参数； (2)以x轴正方向到OM所成角α为参数． 思路点拨　由题意可知： ①动点M的轨迹是圆； ②将点M(x，y)的坐标表示为的形式． 因此，解答本题可以根据点的坐标以及几何性质求参数方程． 【解析】　(1)如图所示，依题意动点M的轨迹是以C(r，0)为圆心，r为半径的圆，设圆和x轴的正半轴交于A，OA为直径． 设M(x，y)，作MN⊥Ox于N， 在Rt△MCN中， |CM|=r，∠ACM=θ， ∴x=ON=OC+CN=r+rcos θ， y=MN=rsin θ. ∴动点M轨迹的参数方程是 (2)设点M的坐标为 M(x，y)，OA=2r， 则ON=OAcos α·cos α=2rcos2α， NM=OAcos α·sin α=2rsin α·cos α. ∴点M的轨迹方程是 【方法技巧】 应用参数方程解轨迹问题，是求轨迹方程常用的方法，而参数的选择不是惟一的，要根据已知条件恰当选择参数，选择的参数不同，方程的复杂程度也不同． 1．以经过原点的弦长t为参数，写出圆(x－a)2＋y2＝a2(a>0)的参数方程． 解析　利用平面几何中相关定理得t2＝x·2a， 　圆M的参数方程为x2＋y2－4Rxcos α－4Rysin α＋3R2＝0(R>0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M的半径； (2)当R固定，α变化时，求圆心M的轨迹．并证明此时不论α取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆． 思路点拨　(1)将圆M的参数方程化为圆的标准方程易得圆的圆心坐标及半径． (2)根据圆的标准方程得出圆心M的轨迹为以α为参数的参数方程，然后证明． 【解析】　(1)依题意得圆M的方程为(x－2Rcos α)2＋(y－2Rsin α)2＝R2，故圆心的坐标为M(2Rcos α，2Rsin α)，半径为R. (2)当α变化时，圆心M的轨迹方程为(α为参数)．两式平方相加得x2＋y2＝4R2，所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点、半径为2R的圆． 所以所有的圆M都和定圆x2＋y2＝R2外切，和定圆x2＋y2＝9R2内切． 【方法技巧】 本题所给的方程中含有多个参数，象这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，在具体的题目中究竟哪个是真正的参数应视题目给定的条件而定，分清参数． 2．C1、C2是以原点为圆心的两个同心圆，C1的半径r1＝2，C2的半径r2＝6，C1上有一点P，C2上有一点Q，各以每秒1弧度的角速度绕原点旋转，P点按逆时针方向运动，Q点按顺时针方向运动，当t＝0时，P点在x轴上，Q点在y轴上，求PQ中点M的运动轨迹的参数方程． 解析　设t秒后，∠POx＝∠QOy＝θ＝t， 则P点坐标为(2cos t,2sin t)． Q点坐标为＝(6sin t,6cos t)， 设中点M(x，y)， 则(t为参数)为所求M点的参数方程． 答案　(t为参数)[来源:学|科|网Z|X|X|K] 题型二　圆的参数方程的应用 　如图所示，已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，求大圆被小圆截得的劣弧的长． 思路点拨　求出弧的长，关键是求出劣弧在圆O1中所对的圆心角，因此选择以圆心角为参数的圆的参数方程简便易求． 【解析】　解法一　设O1的参数方程为 (0≤θ<2π) 将上式代入圆O的方程得 (3＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝9， 化简得cos θ＝－， θ1＝π，θ2＝π， ∠MO1N＝－＝， 所以的长为3·＝π. 解法二　设圆O的参数方程为 (0≤