第二讲 四、渐开线与摆线-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）课件PPT

第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 四　渐开线与摆线 目标 定位 1.了解圆的渐开线的参数方程． 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程． 3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤． 4.通过阅读材料，了解其他曲线．应用计算机展现多种生成曲线，并感受这些曲线的美. 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 1．以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴(开始时绳子的外端位于点A)，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为 _________________________________． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝r(cos φ＋φsin φ),y＝r(sin φ－φcos φ))) (φ是参数) 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为 ______________________________. eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝r(φ－sin φ),y＝r(1－cos φ)))(φ是参数) 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力．由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形．设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程． 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的摆线，它们已被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及多边形切削等方面．如果你有兴趣，可以查找相关资料，进一步了解摆线的知识. 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 题型一　圆的渐开线的参数方程及其应用 　求半径为4的圆的渐开线的参数方程． 思路点拨　运用向量知识，结合渐开线的定义求解即可． 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 【解析】　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)， 由几何知识知∠MAB=θ， =(4cos θ+4θsin θ，4sin θ-4θcos θ) =[4(cos θ+θsin θ),4(sin θ-θcos θ)] 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 这就是所求圆的渐开线的参数方程． 【方法技巧】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到eq \o(OM,\s\up6(→))的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程． 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 1．一半径为r的圆C的圆心在过原点倾斜角为α的一条直线上运动，圆C上一点P沿圆C做逆时针匀速圆周运动，且圆心C和P点的运动速度相等，当C的中心在坐标原点时，P在x轴的正半轴上，求点P的轨迹的参数方程． 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程 解析　设圆C的圆心在O(x′，y′)时P点的坐标为(x，y)，取∠NO′P＝θ为参数，O′N与圆C交于K，O′的起始位置是O，P的起始位置是K，由于运动速度相同， ∴|OO′|＝eq \x\to(KP)＝rθ. 为所求． 答案　eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝r(θcos α＋cos θ),y＝r(θsin α＋sin θ))) 第二讲 参数方程 菜 单 A·数学·选修4-4——坐标系与参数方程