第二讲 三 直线的参数方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

三　直线的参数方程 目标 定位 1.掌握直线参数方程的标准形式，明确参数的几何意义． 2.能运用直线的参数方程解决某些相关的应用问题(弦长问题、中点问题等)． 3.通过关于直线和圆锥曲线的综合练习，进一步从中体会到参数方程的方便之处和参数的作用，增强在处理一类问题中的参数意识. 1．经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为____________． 2．(1)直线的参数方程(标准形式)中，|t|表示参数t对应的动点(x，y)与直线上的定点(x0，y0)之间的________________． (2)设直线上的任意两点P1和P2对应的参数分别为t1和t2，则|P1P2|＝______________. (3)位于直线上的三点P，P1和P2所对应的参数分别为t，t1和t2，若P是线段P1P2中点，则有________特别，当P0为P1和P2中点时，有__________． 自我校对　1. 2．(1)距离　(2)|t1－t2|　　t1＋t2＝0 过点P0(x0，y0)倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为t为以P0为起点，以直线上的P(x，y)为终点的有向线段P0P的数量，若A、B是直线上的任两点，它们对应的参数为t1、t2.则(1)|P0A|·|P0B|＝|t1t2|； 应用直线参数方程时，需先判断是否是标准形式，再考虑参数t的几何意义. 题型一　直线参数方程的一般式与标准式的互化 　设直线的参数方程为 (1)求直线的直角坐标方程； (2)化为参数方程标准式． 思路点拨　(1)两式联立，消去t即可． (2)把参数方程中参数t的系数化成两系数的平方和为1即可． 【解析】　(1)把t＝代入y的表达式，得 y＝10－， 化简得4x＋3y－50＝0，这是直线的直角坐标方程． (2)把方程变形为 令u＝－5t，则方程变为 记cos α＝－，sin α＝(α∈[0，π))，点M0(5,10)，这是过M0点，倾斜角为α的直线的参数方程，u为参数，它是方程标准形式．|u|表示直线上的点M(x，y)到定点M0的距离，点M(x，y)与参数u对应． 【方法技巧】 一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为 (t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝时，直线的参数方程为 (t为参数)． 1．为使直线(t为参数)的参数t表示点(2，－1)到P(x，y)的有向线段的数量，则直线方程应化为 A.　　B. C. D. 答案　D 题型二　利用直线参数方程参数的几何意义解题 　(1)化直线l1：x＋y－1＝0的方程为参数方程，并说明参数的几何意义，说明|t|的几何意义． (2)化直线l2：(t为参数)为普通方程，并说明|t|的几何意义． 思路点拨　直线的参数方程中，寻求参数|t|的几何意义，一般把两参数方程平方相加求出|t|即可． 【解析】　(1)令y＝0，得x＝1， ∴直线l1过定点(1,0)， k＝－＝－，设倾斜角为α， tan α＝－，α＝π，cos α＝－，sin α＝. l1的参数方程为(t为参数)，t是直线l1上定点M0(1,0)到t对应的点M(x，y)的有向线段的数量， ①，②两式平方相加得(x－1)2＋y2＝t2， ∴|t|表示定点M0到t对应的点M(x，y)的距离. 消去参数t，得y－1＝(x＋3)， 一般式为：x－y＋3＋1＝0. ①，②两式平方后相加，得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2， |t|的几何意义是点M0(－3,1)到t对应的点M(x，y)的距离的一半． 【方法技巧】 直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是 (a、b为常数，t为参数)．当a2＋b2＝1时，|t|的几何意义是有向线段的长度， 当a2＋b2≠1时，|t|的几何意义是||的长度的 2．设直线l1过点A(2，－4)，倾斜角为π. (1)求l1的参数方程； (2)设直线l2：x－y＋1＝0，l2与l1的交点为B，求点B与点A的距离． 解析　(1)由A(2，－4)及α＝得l1的参数方程可为 即 (2)如图所示，B点在l1上，只要求出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距离． 把l1的参数方程代入l2的方程中，得 －＋1＝0， t＝7， t＝＝7(－1)． t为正值，知|AB|＝7(－1)． 答案　题型三　直线与圆锥曲线的位置关系 　已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M. 求：(1)P、M两点间的距离； (2)M点的坐标； (3)线段AB的长|AB|. 思路点拨　先根据直线l的特点求出直线l的参数方程，然后逐题求解． 【解析】　(1)∵直线l过点P