第二讲 二 第一课时 椭圆的参数方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

二　圆锥曲线的参数方程 第一课时　椭圆的参数方程 目标 定位 1.掌握椭圆的参数方程，并解决一些长度、面积问题． 2.掌握利用椭圆的性质来解决实际问题． 3.通过对具体问题的解决，体会运用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题. 1．方程为______________，其中参数φ的范围为________． 2．椭圆中参数φ的意义与圆中参数θ的意义的区别是__________________． 自我校对　1.(φ为参数)　φ∈[0,2π) 2．φ为离心角，θ为圆心角 利用椭圆的参数方程能够方便地表示曲线上点的坐标，通常可用来确定最值问题，点的轨迹问题等，尤其要注意椭圆的参数方程中参数的几何意义. 题型一　求椭圆的参数方程 　 (1)设x＝5cos φ，φ为参数； (2)设y＝4t，t为参数． 思路点拨　分别把x＝5cos φ，y＝4t代入椭圆方程 【解析】　(1)把x＝5cos φ代入椭圆方程，得到 于是y2＝16sin2φ，即y＝±4sin φ， 由参数φ的任意性，可取y＝4sin φ， (φ为参数)．[来源:学科网ZXXK] 【方法技巧】 同一方程选取的参数不同，可得到参数方程的形式也不同． 解析　可直接写出参数方程0≤t＜2π. 答案　0≤t＜2π 题型二　椭圆参数方程的简单应用 　点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为________，最小值为________． 思路点拨　设出椭圆上的点P的参数坐标，然后利用三角函数知识可解． 【解析】 所以可以设P点坐标为(cos θ，2sin θ)，即x＝cos θ，y＝2sin θ，所以x＋y＝cos θ＋2sin θ＝sin (θ＋φ)，其中，tan φ＝.因为sin (θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值为，最小值为－. 【答案】　　－ 【方法技巧】 在求解一些最值问题时，可以用参数方程来表示曲线上点的坐标，利用正弦、余弦函数的有界性来解决问题，简化运算过程． 2．已知椭圆的参数方程为(t为参数)，点P为椭圆上对应t＝的点，求OP的斜率． 解析　点P的坐标为 直线OP的斜率k＝＝. 答案　 题型三　椭圆参数方程的综合应用 　设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P距离等于的点的坐标． 思路点拨　设出椭圆的参数方程，把最远距离问题转化为三角函数的最值问题，求出椭圆的方程． 【解析】　设椭圆方程(a>b>0,0≤θ<2π)， 设椭圆上点(x，y)到P距离为d，则 d2＝x2＋(y－)2 ＝－3b22＋4b2＋3. 若>1，即b<时，()2＝2. ∴b＝－>与b<矛盾． 若≤1即b≥时，此时sin θ＝－， d2有最大值． 故有()2＝4b2＋3，∴b＝1，a＝2 椭圆方程为 由sin θ＝－，cos θ＝±， 所求点坐标为，. 【方法技巧】 圆锥曲线的参数方程的应用价值在于 (1)通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标； (2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题． 交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，(O为原点)，求离心率e的范围． 解析　设椭圆的参数方程是(a>b>0) 则椭圆上的点P(acos θ，bsin θ)，A(a,0)， ∵OP⊥PA∴·＝－1， 即(a2－b2)cos2 θ－a2cos θ＋b2＝0， ∵－1≤cos θ≤1， 0<e<1. 从而≤e<1. 答案　≤e<1 1．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)的轨迹必过点 A．(2,0)　　　　　 B．(2,3) C．(1,3) D. 答案　A 2．参数方程(θ为参数)化为普通方程为 答案　B 3．椭圆(θ为参数)的焦距为 A. B．2 C. D．4 答案　C 使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小． 解析　设椭圆的参数方程为[来源:Zxxk.Com] (θ是参数，0≤θ＜2π)． ∴d＝ ＝|cos θ－sin θ－3| ＝. 当cos＝1时，即θ＝π时， dmin＝，此时对应的点为(2，－3)． 5．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为. (1)求点A，B，C，D的直角坐标； (2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析　(1)由已知可得A， B， C， D， 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－