2.2.1 椭圆的参数方程-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 因为 Q 点在圆 x2 - 2ax + y2 = 0 上,所以 Q 点的坐标适合这 个圆的方程,就是 4x2 - 4ax + 4y2 = 0. 就是 x2 - ax + y2 = 0, (x - a 2 )2 + y2 = a 2 4 . 这个方程表示的曲线,是以( a 2 ,0)为圆心, | a | 2 为半径的圆. 解法二:设 OQ 的中点是 P(x,y),又弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ,取 θ 作为参数,设已知圆的圆心是 O′,O′的坐标是(a,0), 连接 O′P,那么,O′P⊥OQ,过点 P 作 PP′⊥OO′,那么 OP = acosθ, ∴ x = OP′ = OPcosθ = acos2 θ y = PP′ = OPsinθ = acosθsinθ{ (θ 为参数). 这就是所求轨迹的参数方程. 点评:消去参数 θ 后,这个参数方程仍旧可以化成普通 方程(x - a 2 )2 + y2 = a 2 4 ,它是以( a 2 ,0) 为圆心, | a | 2 为半径 的圆. 第二节　 圆锥曲线的参数方程 第 1 课时　 椭圆的参数方程 新知导学 　 　 x = acosφ y = bsinφ{ (φ 是参数)　 x = bcosφ y = asinφ{ (φ 是参数)　 [0,2π) 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:根据椭圆参数方程直接写出. (1) x = 2cosθ y = 5sinθ{ (0≤θ < 2π). (2) x = 1 + 3cosθ y = - 2 + 5sinθ{ (0≤θ < 2π). 　 　 跟踪练习 1:(1)∵ x 2 9 + y2 = 3, ∴ x 2 27 + y 2 3 = 1, ∴ 其参数方程为 x = 3 3cosθ y = 3sinθ{ (θ 为参数). (2)∵ (x + 2)2 + (y - 1) 2 4 = 1, ∴ 令 x + 2 = cosθ, y - 1 2 = sinθ, ∴ x = - 2 + cosθ,y = 1 + 2sinθ. ∴ 其参数方程为 x = - 2 + cosθ y = 1 + 2sinθ{ (θ 为参数). 典例试做 2:如图,由动点 C 在该椭圆上运动,故据此可设 点 C 的坐标为(6cosθ,3sinθ),点 G 的坐标为(x,y),则由题意可 知点 A(6,0)、B(0,3). 由重心坐标公式可知 x = 6 + 0 + 6cosθ 3 = 2 + 2cosθ y = 0 + 3 + 3sinθ 3 = 1 + sinθ ì î í ïï ïï , 由此消去 θ 得到(x - 2) 2 4 + (y - 1)2 = 1,即为所求 跟踪练习 2:设 P(3cosθ, 3sinθ), ∴ kPM = 3sinθ 3cosθ - 3 ,kPN = 3sinθ 3cosθ + 3 , ∴ kPM·kPN = 3sin2 θ 9cos2 θ - 9 = 3sin 2 θ - 9(1 - cos2 θ) = - 1 3 . 易混易错警示 　 　 设 OP = t,点 P 的坐标为(tcos π 3 ,tsin π 3 ),代入椭圆方程 得 ( 1 2 t)2 16 + ( 3 2 t)2 12 = 1,即 t = 8 5 5 ,所以点 P 的坐标为(4 5 5 , 4 15 5 ). 课后强化作业　 练案[7] A 级　 基础巩固 1. B　 将曲线的参数方程化为普通方程,得 x2 + y 2 4 = 1,它表示 焦点在 y 轴上的椭圆,其长轴长为 4. 2. B　 ∵ x = 4 + 2cosθ y = 1 + 5sinθ{ ,∴ (x - 4)2 4 + (y - 1) 2 25 = 1. ∴ a2 = 25,b2 = 4,c2 = 21,∴ 焦距 2c = 2 21. 3. A　 将椭圆方程化为普通方程为 x a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0), ∴ 点( - a,0)对应的 θ = π,故选 A. 4. D　 由题意知 2 = 4cosθ,3 3 = 6sinθ, ∴ cosθ = 1 2 ,sinθ = 3 2 ,∴ θ = 2kπ + π 3 ,k∈Z. 5. D　 根据题意有 3 t = cosθ 4 + 4t = 4sinθ{ , ∴ 有 3(sinθ - 1) = cosθ, 3sinθ - cosθ = 3, 2sin θ - π6( ) = 3,∴ sin θ - π 6( ) = 3 2 , ∵ 0≤θ≤π,∴ θ = 5π 6 或 π 2 . 6. D　 当 φ = π 6 时,x = 3cos π 6 = 3 3 2 , y = 2sin π 6