第二讲 二 第二课时 双曲线的参数方程　抛物线的参数方程-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第二课时　双曲线的参数方程　抛物线的参数方程 目标 定位 1.了解双曲线的参数方程，并解决一些长度，面积问题． 2.掌握抛物线的参数方程，并解决一些长度、面积问题． 3.掌握利用抛物线的性质来解决实际问题． 4.通过对具体问题的解决，体会运用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题. 的一个参数方程为______，其中参数φ的范围是______，且______． 2．类比椭圆的参数方程，从双曲线的参数方程中可以得出的结论是： (1)______________________________________________________________； (2)______________________________________________________________. 3．抛物线y2＝2px(p>0)的一个参数方程为________________，其中参数t的意义是______________________，取值范围是________，特别地，当t＝0时，参数方程表示的点正好是________________． 自我校对　1.(φ为参数)　φ∈[0,2π)　φ≠，φ≠π 2．(1)参数φ的几何意义是离心角 (2)双曲线上任一点的坐标可以设为(asec φ，btan φ) 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数　t∈(－∞，＋∞)　抛物线的顶点(0,0) 上任意一点的坐标可以设为(asec φ，btan φ)，这是解决与双曲线有关的问题的重要方法． 2．双曲线的参数方程的应用价值在于(1)通过参数φ简明地表示曲线上任一点坐标；(2)将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题． 题型一　求双曲线的参数方程 　 (1)设x＝3sec φ，φ为参数且φ∈[0,2π)，且φ≠，φ≠π； (2)设y＝2t，t为参数．[来源:学科网ZXXK] 思路点拨　分别把x＝3sec φ，y＝2t代入双曲线 【解析】　(1)把x＝3sec φ代入双曲线方程得： y＝±2tan φ. 由φ的任意性可取y＝2tan φ，因此双曲线参数方程为：(φ为参数)． 【方法技巧】 已知曲线的普通方程及其中一个变量的参数方程，只须把这个变量的参数表达式代入普通方程求出另一个变量的参数表达式，两个变量的参数表达式联式即可把普通方程化为参数方程． 写出它的参数方程． 解析　可直接写出参数方程 ) 题型二　利用抛物线参数方程求轨迹问题 　连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线． 思路点拨　引入参数方程，然后根据中点公式消去参数，得出P点的轨迹方程. 【解析】　设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在抛物线的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为 变形为y0＝x02，即x2＝4y. 表示的为抛物线． 【方法技巧】 引入曲线的参数方程可以求一类轨迹问题． 2．设M为抛物线y2＝2x上的动点，给定点M0(－1,0)，点P为线段M0M的中点，求点P的轨迹方程(如图所示)． 解析　得抛物线的参数方程 动点M(2t2,2t)，定点M0(-1,0)，由中点的坐标公式得P点的坐标为这就是P点的轨迹的参数方程，可化为普通方程y2＝x＋，这是以x轴为对称轴，顶点在的抛物线． 题型三　抛物线参数方程的综合应用[来源:学科网] 　抛物线y2＝4x的内接三角形的一个顶点在原点，其垂心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长． 思路点拨　作出图形，用参数形式表示内接三角形的顶点坐标，然后根据内接三角形与抛物线的关系，求出参数值，进而求出三角形的周长． 【解析】　如图，y2＝4x焦点F(1,0)，设A点坐标为(4t2,4t)，t为参数，且t>0，则B点坐标为(4t2，－4t)．AF斜率为 【方法技巧】 牵涉到抛物线上的点的问题可设抛物线的参数方程，引入参数t，转化为t的形式去研究． 3．在直角坐标系中，椭圆E的参数方程为(m为常数，φ为参数)，抛物线C的参数方程为 (1)m取哪些值，椭圆和抛物线有公共点？ (2)当椭圆与抛物线相交时，若椭圆与抛物线的交点M到坐标原点的距离等于M到椭圆中心的距离，求m的值． 解析　(1)抛物线和椭圆相交， 消去t得m＋2cos φ＝＋sin2φ， ∴2m＝－(cos φ＋2)2＋8， ∴m∈. (2)设椭圆和抛物线交点为M(x0，y0)， ∴x0＝或m＝0， 方程，消去t和y0得 m2＋16m－64＝0，∴m＝－8±8 从而m＝－8＋8或m＝0. 答案　(1)m∈　(2)m＝－8＋8或m＝0 (t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|